Bài tự luận · Bài 29
Dạng 1. Tìm toạ độ của điểm, tọa độ của vecto
Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 29
(CD12) Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $M(2;2;-2),N(-3;5;1)$, $P(1;-1;-2)$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $M,N,P$ không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác $MNP$.
c) Tính $\cos\widehat{NMP}$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $M,N,P$ không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác $MNP$.
c) Tính $\cos\widehat{NMP}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=(-5;3;3),\overrightarrow{MP}=(-1;-3;0),k\overrightarrow{MP}=(-k;-3k;0)$.
Suy ra $\overrightarrow{MN}\neq k\overrightarrow{MP}$ với mọi $k\in\mathbb{R}$. Vậy ba điểm $M,N,P$ không thẳng hàng.
b) Ta có:
$MN=\|\overrightarrow{MN}\|=\sqrt{(-5)^2+3^2+3^2}=\sqrt{43}\\MP=\|\overrightarrow{MP}\|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{10}\\NP=\|\overrightarrow{NP}\|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-1-5)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{61}$
Do đó, chu vi tam giác $MNP$ là: $\sqrt{43}+\sqrt{10}+\sqrt{61}$.
c) Trong tam giác $MNP$, ta có:
$\cos\widehat{NMP}=\cos(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP})=\dfrac{\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}}{\|\overrightarrow{MN}\|\cdot\|\overrightarrow{MP}\|}=\dfrac{(-5)\cdot(-1)+3\cdot(-3)+3\cdot0}{\sqrt{43}\cdot\sqrt{10}}=-\dfrac{4}{\sqrt{430}}$
Suy ra $\overrightarrow{MN}\neq k\overrightarrow{MP}$ với mọi $k\in\mathbb{R}$. Vậy ba điểm $M,N,P$ không thẳng hàng.
b) Ta có:
$MN=\|\overrightarrow{MN}\|=\sqrt{(-5)^2+3^2+3^2}=\sqrt{43}\\MP=\|\overrightarrow{MP}\|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{10}\\NP=\|\overrightarrow{NP}\|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-1-5)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{61}$
Do đó, chu vi tam giác $MNP$ là: $\sqrt{43}+\sqrt{10}+\sqrt{61}$.
c) Trong tam giác $MNP$, ta có:
$\cos\widehat{NMP}=\cos(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP})=\dfrac{\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}}{\|\overrightarrow{MN}\|\cdot\|\overrightarrow{MP}\|}=\dfrac{(-5)\cdot(-1)+3\cdot(-3)+3\cdot0}{\sqrt{43}\cdot\sqrt{10}}=-\dfrac{4}{\sqrt{430}}$