Bài tự luận · Bài 25
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 25
(KNTT11) Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$ ta đều có
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.
Xem lời giải
Lời giải
$VT=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$.
Mặt khác, trong tam giác $ABC$, ta có $A+B+C=\pi$ nên $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$. Từ đó suy ra: $\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2},\sin\frac{C}{2}=\cos\frac{A+B}{2}$.
Vậy
$\begin{array}{l}VT=2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{C}{2} \\ =2\cos\frac{C}{2}\left( \cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2} \right)=4\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}=VP\end{array}$
Mặt khác, trong tam giác $ABC$, ta có $A+B+C=\pi$ nên $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$. Từ đó suy ra: $\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2},\sin\frac{C}{2}=\cos\frac{A+B}{2}$.
Vậy
$\begin{array}{l}VT=2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{C}{2} \\ =2\cos\frac{C}{2}\left( \cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2} \right)=4\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}=VP\end{array}$