Bài tự luận · Bài 26
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 26
(KNTT11) Chứng minh rằng:
a) $\cos a-\sin a=\sqrt{2}\cos\left( a+\frac{\pi}{4} \right)$
b) $\sin a+\sqrt{3}\cos a=2\sin\left( a+\frac{\pi}{3} \right)$.
a) $\cos a-\sin a=\sqrt{2}\cos\left( a+\frac{\pi}{4} \right)$
b) $\sin a+\sqrt{3}\cos a=2\sin\left( a+\frac{\pi}{3} \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có
$\begin{array}{l}\sqrt{2}\cos\left( a+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\left( \cos a\cos\frac{\pi}{4}-\sin a\sin\frac{\pi}{4} \right) \\ =\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a \right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\cos a-\sin a)=\cos a-\sin a\end{array}$
b) Ta có $2\sin\left( a+\frac{\pi}{3} \right)=2\left( \sin a\cos\frac{\pi}{3}+\cos a\sin\frac{\pi}{3} \right)=2\left( \frac{1}{2}\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a \right)$
$=\sin a+\sqrt{3}\cos a$.
$\begin{array}{l}\sqrt{2}\cos\left( a+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\left( \cos a\cos\frac{\pi}{4}-\sin a\sin\frac{\pi}{4} \right) \\ =\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a \right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\cos a-\sin a)=\cos a-\sin a\end{array}$
b) Ta có $2\sin\left( a+\frac{\pi}{3} \right)=2\left( \sin a\cos\frac{\pi}{3}+\cos a\sin\frac{\pi}{3} \right)=2\left( \frac{1}{2}\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a \right)$
$=\sin a+\sqrt{3}\cos a$.