Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 58

Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. Vì $ SA=SB=SI $ nên $ H $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABI $.
Gọi $ K $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $. Vì $ AB\,//\,CD $ và $ AB⊄\left ( { SCD } \right )\,,\,CD⊂\left ( { SCD } \right ) $ nên $ AB\,//\,\left ( { SCD } \right ) $.
Suy ra $ d\left ( { AB\,,\,SC } \right )=d\left ( { AB\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { K\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $.
Ta có $ AB=8,\,AI=BI=4\sqrt[] { 5 },\,S_{ ABI } =\frac { 1 } { 2 }IK.AB=\frac { 1 } { 2 }.8.8=32 $.
Gọi $ R $ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABI $.
Ta có $ R=\frac { AB.AI.BI } { 4.S_{ ABI } }=\frac { 8.4\sqrt[] { 5 }.4\sqrt[] { 5 } } { 4.32 }=5 $.
Suy ra $ HA=HB=HI=5\,\Rightarrow \,KI=\frac { 8 } { 5 }HI $.
Do đó $ d\left ( { K\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 8 } { 5 }d\left ( { H\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $.
Góc giữa $ SB $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là góc $ \widehat { SBH }=45° $. Suy ra $ SH=BH=5 $.
Gọi $ M $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ lên đường thẳng $ SI $.
Ta có $ HM⊥SI $ và $ HM⊥CD $ (vì $ CD⊥\left ( { SHI } \right ) $ và $ HM⊂\left ( { SHI } \right ) $)
$ \Rightarrow HM⊥\left ( { SCD } \right )\,\Rightarrow \,d\left ( { H\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=HM $.
$ \frac { 1 } { HM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HI ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HS ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 5 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 5 ^ { 2 } }\,\Rightarrow \,HM=\frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Vậy $ d\left ( { AB\,,\,SC } \right )=\frac { 8 } { 5 }.\frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 2 }=4\sqrt[] { 2 } $.