Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 57

Kẻ $ SH⊥AD $, $ H\in AD $ thì $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
Gọi $ M $, $ I $, $ F $ lần lượt là trung điểm đoạn thẳng $ SD $, $ DH $, $ AO $.
Vì $ SB\,\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,MO $ nên $ SB\,\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,\,\left ( { MAC } \right ) $.
Suy ra $ d\left ( { SB,AC } \right )=d\left ( { SB,\left ( { MAC } \right ) } \right ) =d\left ( { B,\left ( { MAC } \right ) } \right )=d\left ( { D,\left ( { MAC } \right ) } \right ) $.
$ H $ là hình chiếu của $ S $ trên $ \left ( { ABCD } \right ) $ nên $ DH $ là hình chiếu của $ SD $ trên $ \left ( { ABCD } \right ) $.
Suy ra $ \left ( { \widehat { SD,\,\left ( { ABCD } \right ) } } \right ) =\left ( { \widehat { SD,HD } } \right )= \widehat { SDH } \Rightarrow \widehat { SDH }=60° $.
Vì tam giác $ SAO $ cân tại $ S $ và $ F $ là trung điểm $ AO $ nên $ SF⊥AO $.
Vì $ AC⊥SF $ và $ AC⊥SH $ nên $ AC⊥HF $.
Xét tam giác $ ADC $ vuông tại $ D $ ta có $ AC=\sqrt[] { AD ^ { 2 } +DC ^ { 2 } }=2a $.
Xét hai tam giác $ AFH $ và $ ADC $ đồng dạng ta có:
$ \frac { AH } { AC }=\frac { AF } { AD }\Rightarrow AH=\frac { AF.AC } { AD }=\frac { \frac { a } { 2 }.2a } { a\sqrt[] { 3 } }=\frac { a } { \sqrt[] { 3 } } $.
Suy ra $ DH=\frac { 2a } { \sqrt[] { 3 } } $.
Suy ra $ H $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AI $.
Ta có $ DA=\frac { 3 } { 2 }IA\Rightarrow d\left ( { D,\left ( { MAC } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }d\left ( { I,\left ( { MAC } \right ) } \right ) $
Ta có $ IO\,\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,HF $ nên $ IO⊥AC $.
Lại có $ MI $ là đường trung bình của tam giác $ SHD $ nên $ MI\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,SH $, mà $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $
suy ra $ MI⊥\left ( { ABCD } \right )\Rightarrow MI⊥AC $.
Từ trên ta có $ \left ( { MOI } \right )⊥AC $.
Trong $ \left ( { MOI } \right ) $, dựng $ IK⊥MO $. Ta có $ IK⊥AC\Rightarrow IK⊥\left ( { MAC } \right ) $.
$ \Rightarrow d\left ( { I,\left ( { MAC } \right ) } \right )=IK $.
Xét tam giác $ AIO $ vuông tại $ O $ ta có $ IO=\sqrt[] { AI ^ { 2 } -AO ^ { 2 } }=\frac { a } { \sqrt[] { 3 } } $.
Xét tam giác $ MID $ vuông tại $ I $ ta có $ MI=DI.tan60°=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 }.\sqrt[] { 3 }=a $.
Xét tam giác $ MIO $ vuông tại $ I $ ta có: $ \frac { 1 } { IK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { IM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { IO ^ { 2 } }=\frac { 4 } { a ^ { 2 } }\Rightarrow IK=\frac { a } { 2 } $.
Ta có: $ d\left ( { I,\left ( { MAC } \right ) } \right )=IK=\frac { a } { 2 } $.
Vậy $ d\left ( { SB,AC } \right )=\frac { 3a } { 4 } $.