Bài tập nâng cao · Bài 56
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 56
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi và $ \widehat { ABC }=60 ^ { 0 } $. Mặt bên $ SAB $ là tam giác đều cạnh $ a $, mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $. Kí hiệu $ d(BC,SD) $ là khoảng cách giữa 2 đường thẳng $ BC $ và $ SD $. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ M $ là trung điểm $ AB $. Ta được $ SM⊥\left ( { ABCD } \right ) $
Ta có $ BC{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AD $ nên $ d\left ( { BC,SD } \right )=d\left ( { BC,\left ( { SAD } \right ) } \right ) =d\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right )=2d\left ( { M,\left ( { SAD } \right ) } \right ) $.
Vì $ ABCD $ là hình thoi và $ \widehat { ABC }=60 ^ { 0 } $nên $ \Delta ABC $đều cạnh $ a $.
Kẻ $ MF⊥AD $; $ MH⊥SF $. Ta có $ AF⊥(SMF)\Rightarrow AF⊥MH $ (1).
Ta lại có $ MH⊥SF $(2).
Từ (1), (2) suy ra $ MH⊥\left ( { SAD } \right ) $.
Xét tam giác $ MFA $, ta có: $ Sin \widehat { FAM }=\frac { MF } { MA }\Rightarrow MF=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Xét tam giác $ SFA $, ta có: $ \frac { 1 } { MH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { MF ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } }+\frac { 1 } { \frac { 3a ^ { 2 } } { 16 } }=\frac { 20 } { 3a ^ { 2 } }\Rightarrow MH=\frac { \sqrt[] { 15 }a } { 10 } $.
Vậy $ d\left ( { BC,SD } \right )=2MH=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $.