Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ ABCD $ là hình chữ nhật, cạnh $ AB=a $, góc $ \widehat { ABD }=45 ^ { 0 } $. Tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi$ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $ SB,BC,SD $. Tính khoảng cách giữa $ AP $ và $ MN $.

Question

Dạng 2. Khoảng cách đường với đường Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ ABCD $ là hình chữ nhật, cạnh $ AB=a $, góc $ \widehat { ABD }=45 ^ { 0 } $. Tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi$ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $ SB,BC,SD $. Tính khoảng cách giữa $ AP $ và $ MN $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image1558.png] Trong tam giác $ ABD $ có $ \widehat { ABD }=45 ^ { 0 } $ nên $ AB=AD $. Do đó, $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $ và $ Q $ là trung điểm $ CD $, ta có $ PQ{ m{ / } }{ m{ / } }SC{ m{ / } }{ m{ / } }MN $ nên có $ MN//\left ( { APQ } ight ) $ $ \Rightarrow d\left ( { MN,AP } ight )=d\left ( { MN,\left ( { APQ } ight ) } ight )=d\left ( { N,\left ( { APQ } ight ) } ight ) $ Vì $ \left \{ \begin{array}{l} ND⊥HC \ ND⊥SH \end{array} ight.\Rightarrow ND⊥\left ( { SHC } ight )\Rightarrow ND⊥SC\Rightarrow ND⊥PQ $ $ \oversetightarrow { AQ. }\oversetightarrow { ND }=\left ( { \oversetightarrow { AD }+\oversetightarrow { DQ } } ight )\left ( { \oversetightarrow { DC }+\oversetightarrow { CN } } ight )=\oversetightarrow { 0 }\Rightarrow AQ⊥ND $ Vậy có $ \left \{ \begin{array}{l} ND⊥PQ \ ND⊥AQ \end{array} ight.\Rightarrow ND⊥\left ( { APQ } ight ) $ tại $ E \Rightarrow d_{ \left ( { MN,AP } ight ) } =NE $ mà có $ \frac { 1 } { DE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { DA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { DQ ^ { 2 } }=\frac { 5 } { a ^ { 2 } }\Rightarrow DE=\frac { a } { \sqrt[] { 5 } } $ và $ DN=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 2 }\Rightarrow EN=\frac { 3a\sqrt[] { 5 } } { 10 }. $ Vậy $ d\left ( { MN,AP } ight )=\frac { 3a\sqrt[] { 5 } } { 10 } $.

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 55