Bài tập nâng cao · Bài 54
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 54
Cho hình chóp $ SABCD $có đáy $ ABCD $là hình thang vuông tại $ A $và $ B $. Biết $ AB=BC=a,AD=4a $. $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và góc tạo bởi $ SC $và mặt phẳng đáy bằng $ 60 ^ { 0 } $. Gọi $ M $là trung điểm của $ SD $. Tính khoảng cách của hai đường thẳng $ BM $và $ SC $theo $ a $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ N $là trung điểm của $ CD \Rightarrow MN//SC\Rightarrow SC//\left ( { BMN } \right ) $.
$ \Rightarrow d\left ( { SC,BM } \right )=d\left ( { SC,\left ( { BMN } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { BMN } \right ) } \right )=d\left ( { D,\left ( { BMN } \right ) } \right ) $.
Gọi $ I $là giao điểm của $ BN $và $ AD \Rightarrow BC//DI\Rightarrow \frac { BC } { DI }=\frac { CN } { DN }=1\Rightarrow BC=DI=a $.
Gọi $ H $là trung điểm của $ AD \Rightarrow MH//SA\Leftrightarrow MH⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
$ \Rightarrow d\left ( { D,\left ( { BMN } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }d\left ( { H,\left ( { BMN } \right ) } \right ) $.
Kẻ $ HE⊥BN, HK⊥ME{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $.
$ \left \{ \begin{array}{l} BN⊥HE \\ BN⊥MH \end{array} \right.\Rightarrow BN⊥\left ( { HME } \right )\Rightarrow BN⊥HK\left ( { 2 } \right ) $.
Từ (1) và (2) suy ra $ HK⊥\left ( { BMN } \right )\Rightarrow d\left ( { H,\left ( { BMN } \right ) } \right )=HK $.
Ta có $ \Delta IEH\simeq \Delta IAB\Rightarrow \frac { HE } { AB }=\frac { IH } { IB }\Rightarrow HE=\frac { 3a } { \sqrt[] { 26 } } $.
Mặt khác $ \left ( { SC,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\left ( { SC,AC } \right )= \widehat { SCA }=60 ^ { 0 } \Rightarrow SA=tan \widehat { SCA }.AC=\sqrt[] { 6 }a $.
$ \Rightarrow MH=\frac { 1 } { 2 }SA=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 2 } \Rightarrow HK=\frac { MH.HE } { \sqrt[] { MH ^ { 2 } +HE ^ { 2 } } }=\frac { 3\sqrt[] { 2 }a } { 8 }\Rightarrow d\left ( { SC,BM } \right )=\frac { \sqrt[] { 2 }a } { 8 } $.