Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, đáy tâm $ O $ và cạnh đáy bằng $ a $, $ SA=SB=SC=SD=a\sqrt[] { 3 } $. Gọi $ M $,$ N $ lần lượt là trung điểm cạnh $ CD $, $ AB $. Tính khoảng cách giữa $ AM $ và $ SN $.

Question

Dạng 2. Khoảng cách đường với đường Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, đáy tâm $ O $ và cạnh đáy bằng $ a $, $ SA=SB=SC=SD=a\sqrt[] { 3 } $. Gọi $ M $,$ N $ lần lượt là trung điểm cạnh $ CD $, $ AB $. Tính khoảng cách giữa $ AM $ và $ SN $. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image1490.png]

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AN//MC \ AN=MC \end{array} ight. \Rightarrow AMCN $ là hình bình hành. Do đó $ AM//CN\Rightarrow AM//\left ( { SCN } ight ) $. Từ đó suy ra $ d\left ( { AM;SN } ight )=d\left ( { AM;\left ( { SCN } ight ) } ight )=d\left ( { A;\left ( { SCN } ight ) } ight )=2d\left ( { O;\left ( { SCN } ight ) } ight ) $ Kẽ $ OH⊥CN $ tại $ H $ mà $ SO⊥CN $. Suy ra $ CN⊥\left ( { SHO } ight )\,\,\,\,\,\left ( { 1 } ight ) $. Kẽ $ OK⊥SH $ tại $ K \left ( { 2 } ight ) $. Từ $ \left ( { 1 } ight )\Rightarrow OK⊥CN\,\,\,\,\left ( { 3 } ight ) $. Từ $ \left ( { 2 } ight )\left ( { 3 } ight )\Rightarrow OK⊥\left ( { SCN } ight )\Rightarrow d\left ( { O;\left ( { SCN } ight ) } ight )=OK $. Gọi $ E=CN∩OB $. Khi đó $ E $ là trọng tâm $ \Delta ABC $. Do đó $ OE=\frac { 1 } { 3 }OB=\frac { 1 } { 6 }BD=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 6 } $. Xét $ \Delta ACE $ vuông tại $ O $ có $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OE ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } }\Rightarrow OH=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 10 } $. Xét $ \Delta SOH $ vuông tại $ O $ có $ \frac { 1 } { OK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }\Rightarrow OK=\frac { a\sqrt[] { 510 } } { 102 } $ Vậy $ d\left ( { AM,SN } ight )=\frac { a\sqrt[] { 510 } } { 51 } $.

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 53