Bài tập nâng cao · Bài 52
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 52
Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $ và có $ AB=a $. Tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ \left ( { ABC } \right ) $. Lấy $ M $ thuộc $ SC $ sao cho $ CM=2MS $. Khoảng cách giữa hai đường $ AC $ và $ BM $ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ I $ là trung điểm của $ AB $ suy ra $ SI⊥\left ( { ABC } \right ). $
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ M $ trên $ \left ( { ABC } \right ) $, Trong $ \left ( { ABC } \right ) $ từ $ B $ dựng đường thẳng $ d\ { \rm{ / } }{ \rm{ / } }\ AC $.
Gọi $ F $ là trung điểm của $ AC $, $ E $ là hình chiếu của $ H $ trên $ d $, ta có:
$ MH=\frac { 2 } { 3 }SI=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $, $ HE=\frac { 2 } { 3 }AB=\frac { 2a } { 3 }. $
Khi đó $ d\left ( { BM,AC } \right )=\frac { 3 } { 2 }d\left ( { H,\left ( { BME } \right ) } \right ) =\frac { 3 } { 2 }\frac { MH.HE } { \sqrt[] { MH ^ { 2 } +HE ^ { 2 } } }=\frac { 3 } { 2 }\frac { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 }.\frac { 2a } { 3 } } { \sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 2a } { 3 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ M $ trên $ \left ( { ABC } \right ) $, Trong $ \left ( { ABC } \right ) $ từ $ B $ dựng đường thẳng $ d\ { \rm{ / } }{ \rm{ / } }\ AC $.
Gọi $ F $ là trung điểm của $ AC $, $ E $ là hình chiếu của $ H $ trên $ d $, ta có:
$ MH=\frac { 2 } { 3 }SI=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $, $ HE=\frac { 2 } { 3 }AB=\frac { 2a } { 3 }. $
Khi đó $ d\left ( { BM,AC } \right )=\frac { 3 } { 2 }d\left ( { H,\left ( { BME } \right ) } \right ) =\frac { 3 } { 2 }\frac { MH.HE } { \sqrt[] { MH ^ { 2 } +HE ^ { 2 } } }=\frac { 3 } { 2 }\frac { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 }.\frac { 2a } { 3 } } { \sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 2a } { 3 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $