Bài tập nâng cao · Bài 51
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 51
Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ SA⊥\left ( { ABC } \right ) $, $ SA=3a $, $ AB=10a $, $ BC=14a $, $ AC=6a $. Gọi $ M $ là trung điểm $ AC $, $ N $là điểm thuộc đoạn thẳng $ AB $ sao cho $ AN=\frac { 3 } { 5 }AB $. Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SM $ và $ CN $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
+ $ cos \widehat { BAC }=\frac { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -BC ^ { 2 } } { 2AB\cdot AC }=-\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow \widehat { BAC }=120 ^ { o } $.
+ $ AN=\frac { 3 } { 5 }AB=6a $.
+ $ AM=\frac { 1 } { 2 }AC=3a $.
Gọi $ E $ là trung điểm $ AN \Rightarrow ME{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }NC $ ($ EM $ là đường trung bình của $ \Delta ANC $).
$ \left \{ \begin{array}{l} NC{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }EM \\ EM⊂\left ( { SEM } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow NC{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { SEM } \right ) $ mà $ SM⊂\left ( { SEM } \right )\Rightarrow d\left ( { CN,SM } \right )=d\left ( { N,\left ( { SEM } \right ) } \right ) $.
$ AN∩\left ( { SEM } \right )=E\Rightarrow \frac { d\left ( { N,\left ( { SEM } \right ) } \right ) } { d\left ( { A,\left ( { SEM } \right ) } \right ) }=\frac { AE } { EN }=1\Rightarrow d\left ( { N,\left ( { SEM } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SEM } \right ) } \right ) $.
Gọi $ F $ là hình chiếu của $ A $ lên $ EM \Rightarrow F $ là trung điểm của $ EM \left ( { AE=AM=3a } \right ) $
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ A $lên $ SF\Rightarrow d\left ( { A,\left ( { SEM } \right ) } \right )=AH $.
+ $ AF=AE\cdot cos \widehat { EAF }=\frac { 3a } { 2 } $.
+ $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AF ^ { 2 } }\Rightarrow AH=\frac { 3a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $.
Vậy $ d\left ( { SM,CN } \right )=\frac { 3a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $.