Bài tập nâng cao · Bài 45
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 45
Cho khối lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có $ \widehat { BAC }=60° $, $ AB=3a $ và $ AC=4a $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ B'C' $, biết khoảng các từ $ M $ đến mặt phẳng $ \left ( { B'AC } \right ) $ bằng $ \frac { 3a\sqrt[] { 15 } } { 10 } $. Thể tích khối lăng trụ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ N $ là giao điểm của $ BM $ và $ B'C $.Ta có $ \frac { MN } { BN }=\frac { B'M } { BC }=\frac { 1 } { 2 } $, suy ra:
$ d\left ( { B;\left ( { AB'C } \right ) } \right )=2d\left ( { M;\left ( { AB'C } \right ) } \right )=\frac { 3a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $
Từ $ B $ kẻ đường cao $ BH $ của tam giác $ ABC $, kẻ $ BK $ vuông góc với đường thẳng $ HB' $. Khi đó $ BK=d\left ( { B;\left ( { AB'C } \right ) } \right )=\frac { 3a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $.
Mặt khác $ BH=AB.sin \widehat { HAB }=3a.sin60°=\frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Tam giác $ HBB' $ vuông tại $ B $ có đường cao $ BK $:
$ \frac { 1 } { (B'B)^2 }=\frac { 1 } { (BK)^2 }-\frac { 1 } { (BH)^2 }=\frac { 25 } { 9a ^ { 2 } .15 }-\frac { 4 } { 9.a ^ { 2 } .3 }=\frac { 1 } { 27a ^ { 2 } } $$ \Leftrightarrow B'B=3a\sqrt[] { 3 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =BB'.S_{ \Delta ABC } =BB'.\frac { 1 } { 2 }AB.AC.sin60°=27a ^ { 3 } $.