Bài tập nâng cao · Bài 46
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 46
Cho khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $có $ A'B $ vuông góc với mặt phẳng đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $; góc giữa $ AA' $ với $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 45° $. Khoảng cách từ $ A $đến các đường thẳng $ BB',DD' $ cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { BB'C'C } \right ) $ và $ \left ( { C'CDD' } \right ) $ bằng $ 60° $. Tính thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ A'B⊥\left ( { ABCD } \right )\Rightarrow \left ( { AA';\left ( { ABCD } \right ) } \right )= \widehat { A'AB }=45° $
Gọi $ H,K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A' $ lên $ BB' $ và $ DD' $
$ \Rightarrow A'H=A'K=1 $ và $ \left \{ \begin{array}{l} AA'⊥A'H \\ AA'⊥A'K \end{array} \right.\Rightarrow AA'⊥\left ( { A'HK } \right ) $
Xét hình bình hành $ ABB'A' $ có $ \left \{ \begin{array}{l} A'B⊥AB \\ \widehat { A'AB }=45° \end{array} \right.\Rightarrow \Delta A'AB,\Delta A'B'B $ vuông cân tại $ B $ và $ A' $.
Do đó $ H $ là trung điểm $ BB' $ $ \Rightarrow A'H=\frac { 1 } { 2 }BB'\Rightarrow BB'=2A'H=2 $
Xét $ \Delta AA'B $ vuông cân tại $ B\Rightarrow A'B=\frac { AA' } { \sqrt[] { 2 } }=\sqrt[] { 2 } $
Do $ ABCD.A'B'C'D' $ là hình hộp nên $ \left ( { \left ( { BB'C'C } \right );\left ( { C'CDD' } \right ) } \right )=\left ( { \left ( { ABB'A' } \right );\left ( { ADD'A' } \right ) } \right ) $
Mà $ \left ( { \left ( { ABB'A' } \right );\left ( { ADD'A' } \right ) } \right )=\left ( { A'H;A'K } \right )=60° $
Do đó $ \widehat { HA'K }=60° $ hoặc $ \widehat { HA'K }=120° $.
Ta có: $ S_{ \Delta A'HK } =\frac { 1 } { 2 }A'H.A'K.sin \widehat { HA'K }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } $
Mặt khác: $ \left \{ \begin{array}{l} A'A⊥\left ( { A'HK } \right ) \\ A'B⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { \left ( { A'HK } \right );\left ( { A'B'C'D' } \right ) } \right )=\left ( { A'A;A'B } \right )=45° $
Lại có: $ \Delta A'HK $ là hình chiếu vuông góc của $ \Delta A'B'D' $ nên:
$ S_{ \Delta A'HK } =S_{ \Delta A'B'D' } .cos45°\Rightarrow S_{ \Delta A'B'D' } =\frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 } $
Suy ra: $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =2V_{ ABD.A'B'D' } =2.A'B.S_{ \Delta A'B'D' } =2.\sqrt[] { 2 }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 }=\sqrt[] { 3 } $(đvtt)
Gọi $ H,K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A' $ lên $ BB' $ và $ DD' $
$ \Rightarrow A'H=A'K=1 $ và $ \left \{ \begin{array}{l} AA'⊥A'H \\ AA'⊥A'K \end{array} \right.\Rightarrow AA'⊥\left ( { A'HK } \right ) $
Xét hình bình hành $ ABB'A' $ có $ \left \{ \begin{array}{l} A'B⊥AB \\ \widehat { A'AB }=45° \end{array} \right.\Rightarrow \Delta A'AB,\Delta A'B'B $ vuông cân tại $ B $ và $ A' $.
Do đó $ H $ là trung điểm $ BB' $ $ \Rightarrow A'H=\frac { 1 } { 2 }BB'\Rightarrow BB'=2A'H=2 $
Xét $ \Delta AA'B $ vuông cân tại $ B\Rightarrow A'B=\frac { AA' } { \sqrt[] { 2 } }=\sqrt[] { 2 } $
Do $ ABCD.A'B'C'D' $ là hình hộp nên $ \left ( { \left ( { BB'C'C } \right );\left ( { C'CDD' } \right ) } \right )=\left ( { \left ( { ABB'A' } \right );\left ( { ADD'A' } \right ) } \right ) $
Mà $ \left ( { \left ( { ABB'A' } \right );\left ( { ADD'A' } \right ) } \right )=\left ( { A'H;A'K } \right )=60° $
Do đó $ \widehat { HA'K }=60° $ hoặc $ \widehat { HA'K }=120° $.
Ta có: $ S_{ \Delta A'HK } =\frac { 1 } { 2 }A'H.A'K.sin \widehat { HA'K }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } $
Mặt khác: $ \left \{ \begin{array}{l} A'A⊥\left ( { A'HK } \right ) \\ A'B⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { \left ( { A'HK } \right );\left ( { A'B'C'D' } \right ) } \right )=\left ( { A'A;A'B } \right )=45° $
Lại có: $ \Delta A'HK $ là hình chiếu vuông góc của $ \Delta A'B'D' $ nên:
$ S_{ \Delta A'HK } =S_{ \Delta A'B'D' } .cos45°\Rightarrow S_{ \Delta A'B'D' } =\frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 } $
Suy ra: $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =2V_{ ABD.A'B'D' } =2.A'B.S_{ \Delta A'B'D' } =2.\sqrt[] { 2 }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 }=\sqrt[] { 3 } $(đvtt)