Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 47

Tính thể tích $ T $ có khối tứ diện $ ABCD $. Gọi $ F $ là trung điểm $ CD $ và $ H $ trọng tâm tam giác$ BCD $.
Ta có $ BF=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ và $ BH=\frac { 2 } { 3 }BF=\frac { a } { \sqrt[] { 3 } } $ suy ra $ AH=\sqrt[] { (AB)^2 -(BH)^2 }=a\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } } $.
Thể tích tứ diện $ ABCD $ là $ T=\frac { 1 } { 3 }AH.S_{ BCD } =\frac { 1 } { 3 }a\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 12 } $
Gọi diện tích một mặt của tứ diện là$ S $. Gọi $ P $ là giao điểm của $ NE $ và $ CD $, tương tự cho $ Q $.
Ta thấy $ P,Q $ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ BEC $ và $ BEA $ nên $ PD=\frac { 1 } { 3 }DC,QD=\frac { 1 } { 3 }AD $
Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
$ \frac { V_{ B.ACE } } { V_{ B.ACD } }=2 $ nên $ V_{ B.ACE } =2T $; $ \frac { V_{ E.BMN } } { V_{ E.BAC } }=\frac { 1 } { 4 } $ nên $ V_{ E.BMN } =\frac { 1 } { 4 }.2T=\frac { T } { 2 } $.
Nên $ V_{ E.AMNC } =V_{ E.ABC } -V_{ B.EMN } =2T-\frac { T } { 2 }=\frac { 3 } { 2 }T $.
Tương tự: $ \frac { V_{ E.DPQ } } { V_{ E.DCA } }=\frac { 1 } { 9 } $ nên $ V_{ E.DPQ } =\frac { 1 } { 9 }T $. Nên $ V_{ ACPQ } =T-\frac { 1 } { 9 }T=\frac { 8 } { 9 }T $
Suy ra $ V=V_{ E.AMNC } -V_{ E.ACPQ } =\frac { 3 } { 2 }T-\frac { 8 } { 9 }T=\frac { 11 } { 18 }T=\frac { 11a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 216 } $