Bài tập nâng cao · Bài 48
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 48
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ M $, $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $, $ BC $. Điểm $ I $ thuộc đoạn $ SA $. Biết mặt phẳng $ \left ( { MNI } \right ) $ chia khối chọp $ S.ABCD $ thành hai phần, phần chứa đỉnh $ S $ có thể tích bằng $ \frac { 7 } { 13 } $ lần phần còn lại. Tính tỉ số $ k=\frac { IA } { IS } $?
Xem lời giải
Lời giải
Mặt phẳng $ \left ( { MNI } \right ) $ cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1. Đặt $ V_{ S.ABCD } =V $.
Ta có $ S_{ \Delta APM } =S_{ \Delta BMN } =\frac { 1 } { 4 }S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 8 }S_{ ABCD } \Rightarrow \frac { S_{ \Delta APM } } { S_{ ABCD } }=\frac { 1 } { 8 } $.
$ \frac { d\left ( { I,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { S,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }=\frac { IA } { SA }=\frac { k } { k+1 } $.
$ \Rightarrow \frac { V_{ I.APM } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { S_{ \Delta APM } } { S_{ ABCD } }.\frac { d\left ( { I,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { S,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }=\frac { k } { 8\left ( { k+1 } \right ) }\Rightarrow V_{ I.APM } =\frac { k } { 8\left ( { k+1 } \right ) }V $.
Do $ MN//AC\Rightarrow IK//AC\Rightarrow IK//\left ( { ABCD } \right )\Rightarrow d\left ( { I;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=d\left ( { K;\left ( { ABCD } \right ) } \right ) $.
Mà $ S_{ \Delta APM } =S_{ \Delta NCQ } $.$ \Rightarrow V_{ I.APM } =V_{ K.NCQ } =\frac { k } { 8\left ( { k+1 } \right ) }V $.
Kẻ $ IH//SD $ ($ H\in SD $) như hình 2. Ta có :
$ \frac { IH } { SD }=\frac { AH } { AD }=\frac { AI } { AS }=\frac { k } { k+1 } $.
$ \frac { IH } { ED }=\frac { PH } { PD }=\frac { PA } { PD }+\frac { AH } { PD }=\frac { PA } { PD }+\frac { 2AH } { 3AD }=\frac { 1 } { 3 }+\frac { 2k } { 3\left ( { k+1 } \right ) }=\frac { 3k+1 } { 3\left ( { k+1 } \right ) } $.
$ \Rightarrow \frac { ED } { SD }=\frac { IH } { SD }:\frac { IH } { ED }=\frac { 3k } { 3k+1 } $$ \Rightarrow \frac { d\left ( { E,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { S,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }=\frac { ED } { SD }=\frac { 3k } { 3k+1 } $.
$ \frac { S_{ \Delta PQD } } { S_{ ABCD } }=\frac { 9 } { 8 } $$ \Rightarrow \frac { V_{ E.PQD } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 27k } { 24k+8 }\Rightarrow V_{ E.PQD } =\frac { 27k } { 24k+8 }V $.
$ V_{ EIKAMNCD } =\frac { 13 } { 20 }V\Leftrightarrow V_{ E.PQD } -V_{ I.APM } -V_{ K.NQC } =\frac { 13 } { 20 }V $
$ \Leftrightarrow \frac { 27k } { 8\left ( { 3k+1 } \right ) }V-\frac { k } { 8\left ( { k+1 } \right ) }V-\frac { k } { 8\left ( { k+1 } \right ) }V=\frac { 13 } { 20 }V \\ \Leftrightarrow \frac { 27k } { 2\left ( { 3k+1 } \right ) }-\frac { k } { k+1 }=\frac { 13 } { 5 }\Leftrightarrow k=\frac { 2 } { 3 } $