Bài tập nâng cao · Bài 49
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 49
Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có đáy cạnh bằng $ a $, góc giữa đường thẳng $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60° $. Gọi $ A' $, $ B' $, $ C' $ tương ứng là các điểm đối xứng của $ A $, $ B $, $ C $ qua $ S $. Thể tích $ V $ của khối bát diện có các mặt $ ABC, $$ A'B'C' $, $ A'BC $, $ B'CA $, $ C'AB $, $ AB'C' $, $ BA'C' $, $ CA'B' $ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ D\,,\,D' $ theo thứ tự là đỉnh thứ tư của hình thoi $ ABCD\,,\,\,A'B'C'D' $.
Thể tích của bát diện cần tìm:
$ V=V_{ ABCD.C'D'A'B' } -V_{ BC'D'A' } -V_{ B'ACD } =V_{ ABCD.C'D'A'B' } -\frac { 1 } { 6 }V_{ ABCD.C'D'A'B' } -\frac { 1 } { 6 }V_{ ABCD.C'D'A'B' } $
$ =\frac { 2 } { 3 }V_{ ABCD.C'D'A'B' }=\frac { 2 } { 3 }\cdot 2SO\cdot 2S_{ \Delta ABC }=\frac { 8 } { 3 }SO.S_{ \Delta ABC } $. (*)
Ta có: $ S_{ \Delta ABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Ta có: $ \left ( { \widehat { SA,\left ( { ABC } \right ) } } \right )= \widehat { SAO }=60°\Rightarrow SO=OA.tan60°=\frac { 2 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\sqrt[] { 3 }=a $.
Do đó: $ V=\frac { 8 } { 3 }.a.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 2a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 3 } $.