Bài tập nâng cao · Bài 50
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 50
Cho khối chóp $ S.ABCD $ có thể tích bằng 1, đáy $ ABCD $ là hình thang với cạnh đáy lớn là $ AD $ và $ AD=3BC $. Gọi $ M $ là trung điểm cạnh $ SA,\,N $ là điểm thuộc cạnh $ CD $ sao cho $ ND=3NC $. Mặt phẳng $ \left ( { BMN } \right ) $ cắt cạnh $ SD $ tại $ P $. Thể tích khối chóp $ A.MBNP $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ V=V_{ S.ABCD } =1. $
Gọi $ I $ là giao điểm của $ BN $ với $ AD $, suy ra $ P $ là giao điểm của $ MI $ với $ SD. $
$ BC\parallel DI $ và $ ND=3NC\Rightarrow DI=3BC\Rightarrow D $ là trung điểm của $ AI $.
Do đó $ P $ là trọng tâm của tam giác $ SAI\Rightarrow \frac { SP } { SD }=\frac { 2 } { 3 } $.
$ S_{ BCN } =\frac { 1 } { 4 }S_{ BCD } =\frac { 1 } { 4 }.\frac { 1 } { 4 }S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 16 }S_{ ABCD } $; $ S_{ ADN } =S_{ NID } =9S_{ BCN } =\frac { 9 } { 16 }S_{ ABCD } $.
$ S_{ ABN } =S_{ ABCD } -S_{ BCN } -S_{ ADN } =\frac { 3 } { 8 }S_{ ABCD } $. Suy ra $ V_{ S.ABN } =\frac { 3 } { 8 }V\,;\,\,V_{ S.ADN } =\frac { 9 } { 16 }V\, $.
$ V_{ S.MBN } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABN } \Rightarrow V_{ A.BMN } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABN } =\frac { 3 } { 16 }V\,; $$ V_{ S.MNP } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ANP } \Rightarrow V_{ A.MNP } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ANP } =\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }V_{ S.AND } =\frac { 3 } { 16 }V $.
Do đó $ V_{ A.MBNP } =V_{ A.BMN } +V_{ A.MNP } =\frac { 3 } { 8 }V=\frac { 3 } { 8 }. $