Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 51

Trước hết ta có: $ V_{ ABCMNP } =V_{ P.ABC } +V_{ P.ABNM } $. Ta sẽ tính $ V_{ P.ABC } $ và $ V_{ P.ABNM } $ theo $ V $:
$ \frac { V_{ P.ABC } } { V_{ C'.ABC } }=\frac { CP } { CC' }=\frac { 1 } { 6 }\Rightarrow V_{ P.ABC } =\frac { 1 } { 6 }V_{ C'.ABC } =\frac { 1 } { 6 }\cdot \frac { 1 } { 3 }V=\frac { 1 } { 18 }V $.
$ CP\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,\left ( { ABB'A' } \right )\Rightarrow { \rm{ d } }\left[ P,\left ( { ABNM } \right ) \right]={ \rm{ d } }\left[ C,\left ( { ABNM } \right ) \right]\Rightarrow V_{ P.ABNM } =V_{ C.ABNM } $.
Mà $ \frac { S_{ ABNM } } { S_{ ABB'A' } }=\frac { AM+BN } { AA'+BB' }=\frac { \frac { 1 } { 2 }AA'+\frac { 2 } { 3 }BB' } { AA'+BB' }=\frac { \frac { 1 } { 2 }+\frac { 2 } { 3 } } { 1+1 }=\frac { 7 } { 12 } $ (vì $ AA'=BB' $)
$ \Rightarrow S_{ ABNM } =\frac { 7 } { 12 }S_{ ABB'A' } $
$ \Rightarrow V_{ C.ABNM } =\frac { 7 } { 12 }V_{ C.ABB'A' } =\frac { 7 } { 12 }\left ( { V-V_{ C.A'B'C' } } \right )=\frac { 7 } { 12 }\left ( { V-\frac { 1 } { 3 }V } \right )=\frac { 7 } { 18 }V $
$ \Rightarrow V_{ P.ABNM } =\frac { 7 } { 18 }V $.
Vậy $ V_{ ABCMNP } =\frac { 1 } { 18 }V+\frac { 7 } { 18 }V=\frac { 4 } { 9 }V $.