Bài tập nâng cao · Bài 52
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 52
Cho khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $, điểm $ M $ thuộc cạnh $ CC' $ sao cho $ CC'=3CM $. Mặt phẳng $ (AB'M) $ chia khối hộp thành hai khối đa diện. $ V_{ 1 } $ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $ A' $, $ V_{ 2 } $ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $ B $. Tính tỉ số thể tích $ V_{ 1 } $ và $ V_{ 2 } $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ E=B'M∩BC,F=AE∩DC $.
Gọi $ V $ là thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $.
$ V=S_{ ABB'A' } .d\left ( { C,\left ( { ABB'A' } \right ) } \right ) $
$ V_{ E.ABB' } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABB' } .d\left ( { E,\left ( { ABB' } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }.S_{ ABB'A' } .\frac { 3 } { 2 }.d\left ( { C,\left ( { ABB'A' } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }V $.
$ V_{ E.FCM } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ FCM } .d\left ( { E,\left ( { FCM } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 9 }.S_{ ABB'A' } .\frac { 1 } { 2 }.d\left ( { C,\left ( { ABB'A' } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 108 }V $.
$ V_{ 2 } =V_{ E.ABB' } -V_{ E.FCM } =\frac { 13 } { 54 }V $.
$ V_{ 1 } =V-V_{ 2 } =\frac { 41 } { 54 }V $.
$ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { 41 } { 13 } $.
Gọi $ V $ là thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $.
$ V=S_{ ABB'A' } .d\left ( { C,\left ( { ABB'A' } \right ) } \right ) $
$ V_{ E.ABB' } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABB' } .d\left ( { E,\left ( { ABB' } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }.S_{ ABB'A' } .\frac { 3 } { 2 }.d\left ( { C,\left ( { ABB'A' } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }V $.
$ V_{ E.FCM } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ FCM } .d\left ( { E,\left ( { FCM } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 9 }.S_{ ABB'A' } .\frac { 1 } { 2 }.d\left ( { C,\left ( { ABB'A' } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 108 }V $.
$ V_{ 2 } =V_{ E.ABB' } -V_{ E.FCM } =\frac { 13 } { 54 }V $.
$ V_{ 1 } =V-V_{ 2 } =\frac { 41 } { 54 }V $.
$ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { 41 } { 13 } $.