Bài tập nâng cao · Bài 55
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 55
Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ và $ M $, $ N $ là hai điểm lần lượt trên cạnh $ CA $, $ CB $ sao cho $ MN $ song song $ AB $ và $ \frac { CM } { CA }=k $. Mặt phẳng $ \left ( { MNB'A' } \right ) $ chia khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ thành hai phần có thể tích $ V_{ 1 } $ (phần chứa điểm $ C $) và $ V_{ 2 } $ sao cho $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=2 $. Khi đó giá trị của $ k $ là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ A'M $, $ B'N $, $ CC' $ đồng quy tại $ I $ (theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt) $ \Rightarrow \frac { IM } { IA' }=\frac { IN } { IB' }=\frac { IC } { IC' }=\frac { CN } { C'B' }=k $ và $ \frac { d\left ( { I\,,\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ) } { d\left ( { C\,,\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ) }=\frac { IC' } { CC' }=\frac { IC' } { IC'-IC }=\frac { IC' } { IC'-kIC' }=\frac { 1 } { 1-k } $.
Khi đó $ \frac { V_{ IMNC } } { V_{ IA'B'C' } }=\left ( { \frac { IC } { IC' } } \right ) ^ { 3 } =k ^ { 3 } $
$ \Rightarrow V_{ 1 } =V_{ MNCA'B'C' } =V_{ IAB'C' } -V_{ IMNC } =\left ( { 1-k ^ { 3 } } \right )V_{ IA'B'C' } $.
Mặt khác: $ V_{ IAB'C' } =\frac { 1 } { 3 }d\left ( { I\,,\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta A'B'C' } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 1-k }.d\left ( { C\,,\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta A'B'C' } =\frac { 1 } { 3\left ( { 1-k } \right ) }V_{ ABC.A'B'C' } $
$ \Rightarrow V_{ 1 } =\left ( { 1-k ^ { 3 } } \right )\frac { 1 } { 3\left ( { 1-k } \right ) }V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { \left ( { k ^ { 2 } +k+1 } \right ) } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } $$ \left ( { 1 } \right ) $.
Theo giả thiết $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=2\Leftrightarrow V_{ 1 } =\frac { 2 } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ &$ \left ( { 2 } \right ) $ $ \Rightarrow \frac { k ^ { 2 } +k+1 } { 3 }=\frac { 2 } { 3 }\Leftrightarrow k ^ { 2 } +k-1=0\Leftrightarrow k=\frac { -1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } $ (vì $ k>0 $).
Khi đó $ \frac { V_{ IMNC } } { V_{ IA'B'C' } }=\left ( { \frac { IC } { IC' } } \right ) ^ { 3 } =k ^ { 3 } $
$ \Rightarrow V_{ 1 } =V_{ MNCA'B'C' } =V_{ IAB'C' } -V_{ IMNC } =\left ( { 1-k ^ { 3 } } \right )V_{ IA'B'C' } $.
Mặt khác: $ V_{ IAB'C' } =\frac { 1 } { 3 }d\left ( { I\,,\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta A'B'C' } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 1-k }.d\left ( { C\,,\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta A'B'C' } =\frac { 1 } { 3\left ( { 1-k } \right ) }V_{ ABC.A'B'C' } $
$ \Rightarrow V_{ 1 } =\left ( { 1-k ^ { 3 } } \right )\frac { 1 } { 3\left ( { 1-k } \right ) }V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { \left ( { k ^ { 2 } +k+1 } \right ) } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } $$ \left ( { 1 } \right ) $.
Theo giả thiết $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=2\Leftrightarrow V_{ 1 } =\frac { 2 } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ &$ \left ( { 2 } \right ) $ $ \Rightarrow \frac { k ^ { 2 } +k+1 } { 3 }=\frac { 2 } { 3 }\Leftrightarrow k ^ { 2 } +k-1=0\Leftrightarrow k=\frac { -1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } $ (vì $ k>0 $).