Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 54

*) Giả sử $ AG⊥BC=H\Rightarrow BC⊥SH $. Ta có hình chiếu của $ SG $ lên mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ trùng với$ SH $. Do đó, $ \left ( { \widehat { SG;\,\left ( { SBC } \right ) } } \right )= \widehat { GSH }=30 ^ { 0 } $.
*) Hạ $ BK⊥SA\Rightarrow SA⊥\left ( { BCK } \right ) $. Mặt phẳng chứa $ BC $ và vuông góc với $ SA $tại $ K $ là $ \left ( { BCK } \right ) $ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích $ V_{ 1 } $, $ V_{ 2 } $ trong đó $ V_{ 1 } $ chứa điểm $ S $.
Suy ra, $ V_{ 1 } =V_{ S.KBC } $; $ V_{ 2 } =V_{ A.KBC } =V_{ S.ABC } -V_{ 1 } $.
Giả sử $ \Delta ABC $ đều có cạnh bằng $ 1 $. Ta có, $ GH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 } $; $ GB=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $;
$ \Delta SGH $vuông tại $ H $ có $ \widehat { GSH }=30 ^ { 0 } $ nên: $ SG=\frac { GH } { tan30 ^ { 0 } }=\frac { 1 } { 2 } $; $ SH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Lại có, $ \Delta SGB $ vuông tại $ G $suy ra độ dài cạnh bên $ SA=SB=\sqrt[] { (SG)^2 +(GB)^2 }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } } =\frac { \sqrt[] { 21 } } { 6 } $.
Trong $ \Delta SAB $ ta có $ BK=\frac { 2S_{ \Delta SAB } } { SA } $ mà $ \Delta SAB=\Delta SBC\Rightarrow S_{ \Delta SAB } =S_{ \Delta SBC } =\frac { 1 } { 2 }SH.BC $
hay $ BK=\frac { 2.\frac { SH.BC } { 2 } } { SA }=\frac { SH.BC } { SA }=\frac { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }.1 } { \frac { \sqrt[] { 21 } } { 6 } }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 7 } } $.
Ta có, $ AK=\sqrt[] { (AB)^2 -(BK)^2 }=\sqrt[] { 1-\frac { 4 } { 7 } }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 7 } $và $ SK=SA-AK=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 6 }-\frac { \sqrt[] { 21 } } { 7 }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 42 } $.
Ta có, $ \frac { V_{ S.KBC } } { V_{ S.ABC } }=\frac { KS } { AS }=\frac { \frac { \sqrt[] { 21 } } { 42 } } { \frac { \sqrt[] { 21 } } { 6 } }=\frac { 1 } { 7 }\Rightarrow V_{ S.KBC } =\frac { 1 } { 7 }V_{ S.ABC } $ và $ V_{ A.KBC } =\frac { 6 } { 7 }V_{ S.ABC } $.
Vậy, $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { \frac { 1 } { 7 }V_{ S.ABC } } { \frac { 6 } { 7 }V_{ S.ABC } }=\frac { 1 } { 6 } $.