Bài tập nâng cao · Bài 53
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 53
Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi cạnh $ a $, $ \widehat { BAD }=60 ^ { 0 } $ và $ SA $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. Góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 45 ^ { 0 } $. Gọi $ M $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ B $ và $ N $ là trung điểm của $ SC $. Mặt phẳng $ \left ( { MND } \right ) $ chia khối chóp $ S.ABCD $ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $ S $ có thể tích $ V_{ 1 } $, khối đa diện còn lại có thể tích $ V_{ 2 } $. Tính tỉ số $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } } $.
Xem lời giải
Lời giải
Thiết diện là tứ giác $ DNEH $ với các điểm như hình vẽ.
Có $ HB//DC $, $ B $ là trung điểm của $ MC $$ \Rightarrow H $ là trung điểm của $ BA $.
Do $ ABCD $ là hình thoi; $ H $ là trung điểm của $ BA $.nên $ S_{ \Delta ADH } =S_{ \Delta BHC } =\frac { 1 } { 4 }S_{ ABCD } $; $ S_{ \Delta DHC } =\frac { 1 } { 2 }S_{ ABCD } $.
Áp dụng định lí Menelauyt có $ \frac { NS } { NC }.\frac { MC } { MB }.\frac { EB } { ES }=1\Rightarrow 1.2.\frac { EB } { ES }=1\Rightarrow \frac { EB } { ES }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow \frac { SE } { SB }=\frac { 2 } { 3 } $.
Đặt $ V=V_{ S.ABCD } $.
Áp dụng công thức tỷ số thể tích, ta có:
$ \frac { V_{ S.DHN } } { V_{ S.DHC } }=\frac { SD } { SD }.\frac { SH } { SH }.\frac { SN } { SC }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow V_{ S.DHN } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.DHC } =\frac { 1 } { 4 }V $.$ \frac { V_{ S.EHN } } { V_{ S.BHC } }=\frac { SE } { SB }.\frac { SH } { SH }.\frac { SN } { SC }=\frac { 1 } { 3 }\Rightarrow V_{ S.EHN } =\frac { 1 } { 3 }V_{ S.BHC } =\frac { 1 } { 12 }V $.
$ V_{ S.ADH } =\frac { 1 } { 4 }V. $
Suy ra $ V_{ 1 } =V_{ S.DHN } +V_{ S.EHN } +V_{ S.ADH } =\frac { 1 } { 4 }V+\frac { 1 } { 12 }V+\frac { 1 } { 4 }V=\frac { 7 } { 12 }V\Rightarrow V_{ 2 } =\frac { 5 } { 12 }V. $
Vậy $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { 7 } { 5 } $.
Có $ HB//DC $, $ B $ là trung điểm của $ MC $$ \Rightarrow H $ là trung điểm của $ BA $.
Do $ ABCD $ là hình thoi; $ H $ là trung điểm của $ BA $.nên $ S_{ \Delta ADH } =S_{ \Delta BHC } =\frac { 1 } { 4 }S_{ ABCD } $; $ S_{ \Delta DHC } =\frac { 1 } { 2 }S_{ ABCD } $.
Áp dụng định lí Menelauyt có $ \frac { NS } { NC }.\frac { MC } { MB }.\frac { EB } { ES }=1\Rightarrow 1.2.\frac { EB } { ES }=1\Rightarrow \frac { EB } { ES }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow \frac { SE } { SB }=\frac { 2 } { 3 } $.
Đặt $ V=V_{ S.ABCD } $.
Áp dụng công thức tỷ số thể tích, ta có:
$ \frac { V_{ S.DHN } } { V_{ S.DHC } }=\frac { SD } { SD }.\frac { SH } { SH }.\frac { SN } { SC }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow V_{ S.DHN } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.DHC } =\frac { 1 } { 4 }V $.$ \frac { V_{ S.EHN } } { V_{ S.BHC } }=\frac { SE } { SB }.\frac { SH } { SH }.\frac { SN } { SC }=\frac { 1 } { 3 }\Rightarrow V_{ S.EHN } =\frac { 1 } { 3 }V_{ S.BHC } =\frac { 1 } { 12 }V $.
$ V_{ S.ADH } =\frac { 1 } { 4 }V. $
Suy ra $ V_{ 1 } =V_{ S.DHN } +V_{ S.EHN } +V_{ S.ADH } =\frac { 1 } { 4 }V+\frac { 1 } { 12 }V+\frac { 1 } { 4 }V=\frac { 7 } { 12 }V\Rightarrow V_{ 2 } =\frac { 5 } { 12 }V. $
Vậy $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { 7 } { 5 } $.