Bài tập nâng cao · Bài 56
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 56
Cho hình lăng trụ đều $ ABC.A'B'C' $ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $ E $, $ F $ lần lượt là trung điểm $ AA' $ và $ BB' $, đường thẳng $ CE $ cắt đường thẳng $ C'A' $ tại $ E' $, đường thẳng $ CF $ cắt đường thẳng $ C'B' $ tại $ F' $. Thể tích khối đa diện $ EFB'A'E'F' $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ D $ là trung điểm $ CC' $. Trước hết $ V_{ EFB'A'E'F' } =V_{ C.C'E'F' } -V_{ C.DEF } -V_{ EFD.A'B'C' } $.
Ta có: $ V_{ C.DEF } =\frac { 1 } { 3 }CD\cdot S_{ DEF } =\frac { 1 } { 3 }\cdot \frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 24 } $, $ V_{ EFD.A'B'C' } =DC'.S_{ A'B'C' } =\frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 8 } $.
Tính $ V_{ C.C'E'F' } $:
$ \Delta CC'E' $ có $ \left \{ \begin{array}{l} EA'\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,CC' \\ EA'=\frac { AA' } { 2 }=\frac { CC' } { 2 } \end{array} \right. $ nên có $ EA' $ là đường trung bình $ \Rightarrow A' $ là trung điểm của $ C'E' $.
Tương tự, $ B' $ là trung điểm của $ C'F' $.
$ \Rightarrow C'E'F' $ đồng dạng với $ \Delta C'A'B' $ theo tỉ số $ k=\frac { C'E' } { C'A' }=2 $.
$ \Rightarrow S_{ C'E'F' } =2 ^ { 2 } .S_{ C'A'B' } =4\cdot \frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\sqrt[] { 3 }\Rightarrow V_{ C.C'E'F' } =\frac { 1 } { 3 }CC'.S_{ C'E'F' } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Vậy $ V_{ EFB'A'E'F' } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 24 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 8 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 } $.