Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ ta lấy lần lượt các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CA}$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có cùng trọng tâm.

Question

DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM Để chứng minh hai điểm $A_1$, $A_2$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}$ Cách 2. Chứng minh $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}$ với $O$ là điểm tùy ý Để chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm ta làm như sau Cách 1. Chứng minh $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ trùng với $G’$ là trọng tâm $	riangle A'B'C'$ Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ (tức là có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$) ta đi chứng minh $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$ Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ ta lấy lần lượt các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CA}$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có cùng trọng tâm.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Giả sử $\frac{AM}{AB}=k$, suy ra $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{CA}$. Cách 1. Gọi $G$, $G'$ lần lượt là trọng tâm của $	riangle ABC$ và $	riangle MNP$. Suy ra $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{G'M}+\overrightarrow{G'N}+\overrightarrow{G'P}=\overrightarrow{0}$ (*). Ta có $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'M}=k\overrightarrow{AB}$. Tương tự $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'N}=k\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'P}=k\overrightarrow{CA}$. Cộng vế theo vế từng đẳng thức trên ta được $(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+3\overrightarrow{GG'}+(\overrightarrow{G'M}+\overrightarrow{G'N}+\overrightarrow{G'P})=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})$. Kết hợp với (*) ta được $\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}$. Suy ra điều phải chứng minh. Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm của $	riangle ABC$, suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. Ta có $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CP}$ $=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}$ $=k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CA}$ $=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})$ $=\overrightarrow{0}$. Vậy hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có cùng trọng tâm.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 42