Bài tập nâng cao · Bài 43
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM Để chứng minh hai điểm $A_1$, $A_2$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}$ Cách 2. Chứng minh $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}$ với $O$ là điểm tùy ý Để chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm ta làm như sau Cách 1. Chứng minh $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ trùng với $G’$ là trọng tâm $\triangle A'B'C'$ Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ (tức là có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$) ta đi chứng minh $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 43
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BC'D$, suy ra
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD'}+\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{0}$. (1)
Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành ta có
$\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{D'D}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB'})+(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD'})$
$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-\overrightarrow{AC}-(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'})+\overrightarrow{AC'}$
$=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{AC'}$
$=\overrightarrow{0}$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD'}=\overrightarrow{0}$, hay $G$ là trọng tâm tam giác $B'CD'$.