Cho tứ giác $ABCD$ có trọng tâm $G$. Gọi $G_1, G_2, G_3, G_4$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ riangle ABC$, $ riangle BCD$, $ riangle CDA$, $ riangle DAB$. Chứng minh rằng $G$ cũng là trọng tâm tứ giác $G_1G_2G_3G_4$.

Question

DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM Để chứng minh hai điểm $A_1$, $A_2$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}$ Cách 2. Chứng minh $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}$ với $O$ là điểm tùy ý Để chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm ta làm như sau Cách 1. Chứng minh $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ trùng với $G’$ là trọng tâm $	riangle A'B'C'$ Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ (tức là có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$) ta đi chứng minh $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$ Cho tứ giác $ABCD$ có trọng tâm $G$. Gọi $G_1, G_2, G_3, G_4$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $	riangle ABC$, $	riangle BCD$, $	riangle CDA$, $	riangle DAB$. Chứng minh rằng $G$ cũng là trọng tâm tứ giác $G_1G_2G_3G_4$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta cần chứng minh $\overrightarrow{GG_1}+\overrightarrow{GG_2}+\overrightarrow{GG_3}+\overrightarrow{GG_4}=\overrightarrow{0}$. (*) Vì $G_1$ là trọng tâm $	riangle ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{GG_1}$. Tương tự $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{GG_2}$, $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GG_3}$, $\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{GG_4}$. Do đó $(*) \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ (đpcm).

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 44