Cho tứ giác $ABCD$. Các điểm $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD$ và $DA$. Chứng minh rằng hai tam giác $ANP$ và $CMQ$ có cùng trọng tâm.

Question

DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM Để chứng minh hai điểm $A_1$, $A_2$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}$ Cách 2. Chứng minh $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}$ với $O$ là điểm tùy ý Để chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm ta làm như sau Cách 1. Chứng minh $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ trùng với $G’$ là trọng tâm $	riangle A'B'C'$ Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ (tức là có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$) ta đi chứng minh $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$ Cho tứ giác $ABCD$. Các điểm $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD$ và $DA$. Chứng minh rằng hai tam giác $ANP$ và $CMQ$ có cùng trọng tâm.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ANP$. Ta có $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{PQ}$ $=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP})+(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ})+\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}$ $=\overrightarrow{0}$. Vậy $G$ cũng là trọng tâm của tam giác $CMQ$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 45