Bài tập nâng cao · Bài 46
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM Để chứng minh hai điểm $A_1$, $A_2$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}$ Cách 2. Chứng minh $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}$ với $O$ là điểm tùy ý Để chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm ta làm như sau Cách 1. Chứng minh $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ trùng với $G’$ là trọng tâm $\triangle A'B'C'$ Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ (tức là có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$) ta đi chứng minh $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 46
a) Chứng minh rằng $G$ là điểm chung của các đoạn thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ và $DD'$.
b) Điểm $G$ chia các đoạn thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ và $DD'$ theo các tỉ số nào?
c) Chứng minh rằng $G$ cũng là trọng tâm của tứ giác $A'B'C'D'$.
Xem lời giải
Lời giải
Mà $A'$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{GA'}$.
Do đó $\overrightarrow{GA}=-3\overrightarrow{GA'}$ nên $G$, $A$ và $A'$ thẳng hàng.
Chứng minh tương tự
$\overrightarrow{GB}=-3\overrightarrow{GB'}$, $\overrightarrow{GC}=-3\overrightarrow{GC'}$, $\overrightarrow{GD}=-3\overrightarrow{GD'}$.
Nên $G$, $B$, $B'$ thẳng hàng; $G$, $C$, $C'$ thẳng hàng; $G$, $D$, $D'$ thẳng hàng.
Vậy $G$ là điểm chung của bốn đoạn $AA'$, $BB'$, $CC'$ và $DD'$.
b) Từ kết quả trên, điểm $G$ chia trong các đoạn $AA'$, $BB'$, $CC'$ và $DD'$ theo tỉ số $3:1$.
c) Ta có
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=-3(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GD'})=\overrightarrow{0}$.
Nên $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GD'}=\overrightarrow{0}$.
Vậy $G$ cũng là trọng tâm của tứ giác $A'B'C'D'$.