Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 43

Ta có $ ABCD.A'B'C'D' $ là hình lăng trụ tứ giác đều nên $ BB'⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ DC'{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AB' $ nên $ \left ( { AC,DC' } \right )=\left ( { AC,AB' } \right )=φ $.
Vì $ BCC'B' $ và $ ABB'A' $ là hai hình chữ nhật bằng nhau nên $ AB'=CB' $, suy ra $ φ= \widehat { B'AC } $.
Lại có $ DC'{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AB' $$ \Rightarrow DC'{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { AB'C } \right ) $
$ \Rightarrow d\left ( { AC,DC' } \right )=d\left ( { DC',\left ( { AB'C } \right ) } \right )=d\left ( { D,\left ( { AB'C } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { AB'C } \right ) } \right ) $.
Do $ ABCD $ là hình vuông nên $ AC⊥BD $, mà $ BB'⊥\left ( { ABCD } \right )\Rightarrow BB'⊥AC $.
Từ đó suy ra $ AC⊥\left ( { BDD'B' } \right ) $.
Gọi $ O=AC∩BD $, kẻ $ BH⊥B'O $ thì $ BH⊥\left ( { AB'C } \right ) $
$ \Rightarrow BH=d\left ( { B,\left ( { AB'C } \right ) } \right )=d\left ( { AC,DC' } \right )=\frac { 3\sqrt[] { 7 }a } { 7 } $.
Giả sử $ AB=x\left ( { x>0 } \right )\Rightarrow AC=BD=\sqrt[] { (AB)^2 +(BC)^2 }=x\sqrt[] { 2 }\Rightarrow AO=BO=\frac { AC } { 2 }=\frac { x\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Tam giác $ BB'O $ vuông tại $ B $ có $ BH⊥B'O $ nên $ \frac { 1 } { (BH)^2 }=\frac { 1 } { (BO)^2 }+\frac { 1 } { (B'B)^2 } $$ \Leftrightarrow \frac { 7 } { 9a ^ { 2 } }=\frac { 2 } { x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { (B'B)^2 } $$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { (B'B)^2 }=\frac { 7 } { 9a ^ { 2 } }-\frac { 2 } { x ^ { 2 } } $$ \Rightarrow BB'=\frac { 3ax } { \sqrt[] { 7x ^ { 2 } -18a ^ { 2 } } } $.
Suy ra $ B'C=AB'=\sqrt[] { (BB')^2 +(AB)^2 }=\sqrt[] { \frac { 7x ^ { 4 } -9a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 7x ^ { 2 } -18a ^ { 2 } } } $.
Tam giác $ AB'C $ cân tại $ B' $ và $ O $ là trung điểm của $ AC $ nên $ B'O⊥AC $.
Suy ra $ cosφ=cos \widehat { B'AC }=\frac { AO } { AB' } $ $ \Leftrightarrow \frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 }=\frac { \frac { x\sqrt[] { 2 } } { 2 } } { \sqrt[] { \frac { 7x ^ { 4 } -9a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 7x ^ { 2 } -18a ^ { 2 } } } } $ $ \Leftrightarrow \sqrt[] { \frac { 7x ^ { 4 } -9a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 7x ^ { 2 } -18a ^ { 2 } } }=2x $
$ \Leftrightarrow \frac { 7x ^ { 4 } -9a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 7x ^ { 2 } -18a ^ { 2 } }=4x ^ { 2 } $ $ \Leftrightarrow 7x ^ { 4 } -9a ^ { 2 } x ^ { 2 } =4x ^ { 2 } \left ( { 7x ^ { 2 } -18a ^ { 2 } } \right ) $ $ \Leftrightarrow 7x ^ { 2 } -9a ^ { 2 } =4\left ( { 7x ^ { 2 } -18a ^ { 2 } } \right ) $
$ \Leftrightarrow x ^ { 2 } =3a ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow x=\sqrt[] { 3 }a $.
Do đó $ BB'=3a $, $ S_{ ABCD } =(AB)^2 =3a ^ { 2 } $.
Vậy $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =BB'.S_{ ABCD } =9a ^ { 3 } $.