Bài tập nâng cao · Bài 42
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 42
Cho lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $ và $ AB=a $,$ AC=a\sqrt[] { 3 } $, mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $ tạo với đáy một góc $ 30° $. Thể tích của khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Trong $ \Delta ABC $, kẻ $ AH⊥BC $.
Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} AA'⊥\left ( { ABC } \right ) \\ BC⊂\left ( { ABC } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow AA'⊥BC $.
Khi đó: $ \left\{ \begin{array}{l} AH⊥BC \\ AA'⊥BC \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { AA'H } \right )⊥BC\Rightarrow A'H⊥BC $.
$ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { A'BC } \right )∩\left ( { ABC } \right )=BC \\ BC⊥AH⊂\left ( { ABC } \right ) \\ BC⊥A'H⊂\left ( { A'BC } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow \widehat { \left ( { \left ( { A'BC } \right ),\left ( { ABC } \right ) } \right ) }= \widehat { \left ( { A'H,AH } \right ) }= \widehat { A'HA }=30° $.
$ AH=\frac { 2S_{ \Delta ABC } } { BC }=\frac { 2.\frac { 1 } { 2 }.AB.AC } { \sqrt[] { (AB)^2 +(AC)^2 } }=\frac { AB.AC } { \sqrt[] { (AB)^2 +(AC)^2 } }=\frac { a.a\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +3a ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
$ AA'=AH.tan30°=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a } { 2 } $.
$ V=AA'.S_{ \Delta ABC } =AA'.\frac { 1 } { 2 }.AB.AC=\frac { a } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }.a.a\sqrt[] { 3 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $.