Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 41

Vì $ ABB'A' $ là hình thoi có $ \widehat { BAA' }=60 ^ { 0 } $ nên $ \Delta BAA' $ đều
Suy ra $ A'A=A'B=AB=a. $
Gọi $ F,G $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ BC. $ Khi đó $ A'F=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ và $ FG=\frac { 1 } { 2 }AC=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ A' $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ). $
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} FG⊥AB \\ FG⊥A'H \end{array} \right.\Rightarrow FG⊥\left ( { ABA' } \right ). $
Khi đó $ H\in FG. $
Ta có $ d\left ( { A'B',\left ( { ABI } \right ) } \right )=d\left ( { A',\left ( { ABC' } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { ABC' } \right ) } \right )=2d\left ( { G,\left ( { ABC' } \right ) } \right )=\frac { 3a } { 4 }. $
Kẻ $ GK⊥FC'. $ Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AB⊥FG \\ AB⊥A'H \end{array} \right.\Rightarrow AB⊥\left ( { A'FG } \right ). $ Mà $ GK⊂\left ( { A'FG } \right ) $ nên $ AB⊥GK. $
Mặt khác $ \left \{ \begin{array}{l} GK⊥FC' \\ GK⊥AB \end{array} \right.\Rightarrow GK⊥\left ( { ABC' } \right )\Rightarrow d\left ( { G,\left ( { ABC' } \right ) } \right )=GK\Rightarrow GK=\frac { 3a } { 8 }. $
Kẻ $ A'P⊥FC'. $ Tương tự, ta cũng chứng minh được $ A'P=d\left ( { A',\left ( { ABC' } \right ) } \right )=\frac { 3a } { 4 }. $
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} sin \widehat { A'FP }=\frac { A'P } { A'F }=\frac { \frac { 3a } { 4 } } { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=sin\alpha _{ 1 } \\ sin \widehat { C'FG }=\frac { GK } { GF }=\frac { \frac { 3a } { 8 } } { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }=sin\alpha _{ 2 } \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} cos\alpha _{ 1 } =\frac { 1 } { 2 } \\ cos\alpha _{ 2 } =\frac { \sqrt[] { 13 } } { 4 } \end{array} \right.. $
Khi đó $ sin \widehat { A'FG }=sin\left ( { \alpha _{ 1 } +\alpha _{ 2 } } \right )=sin\alpha _{ 1 } cos\alpha _{ 2 } +cos\alpha _{ 1 } sin\alpha _{ 2 } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 13 } } { 4 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 }+\sqrt[] { 39 } } { 8 }. $
Suy ra $ A'H=A'F.sin \widehat { A'FG }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 3 }+\sqrt[] { 39 } } { 8 }=\frac { a\sqrt[] { 3 }\left ( { \sqrt[] { 3 }+\sqrt[] { 39 } } \right ) } { 16 }. $
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =S_{ ABC } .A'H=\frac { 1 } { 2 }a.a\sqrt[] { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 }\left ( { \sqrt[] { 3 }+\sqrt[] { 39 } } \right ) } { 16 }=\frac { 3a ^ { 3 } \left ( { \sqrt[] { 3 }+\sqrt[] { 39 } } \right ) } { 32 } $ (đvtt).