Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 40

Gọi $ 2x $ là độ dài cạnh đáy của lăng trụ đều $ ABC.A'B'C' $.
Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB\Rightarrow CM=x\sqrt[] { 3 } $
Tam giác $ ABC $ đều $ \Rightarrow CM⊥AB, $ mà $ AB⊥CC'\Rightarrow AB⊥\left ( { CMC' } \right )\Rightarrow \left ( { C'AB } \right )⊥\left ( { CMC' } \right ) $
Lại có $ \left ( { ABC' } \right )∩\left ( { CMC' } \right )=C'M $, kẻ $ MH⊥C'M,\left ( { H\in C'M } \right ) $
$ \Rightarrow CH⊥\left ( { ABC' } \right )\Rightarrow d\left ( { C,\left ( { ABC' } \right ) } \right )=CH=a $
Tam giác $ MCC' $ vuông tại $ C, $có $ CH⊥MC' $
$ \Rightarrow \frac { 1 } { (CH)^2 }=\frac { 1 } { (CM)^2 }+\frac { 1 } { (CC')^2 }\Rightarrow CC'=\frac { CH.CM } { \sqrt[] { (CM)^2 -(CH)^2 } }=\frac { ax\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 3x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } } $.
Tam giác $ BCC' $ vuông tại $ C $, kẻ $ CK⊥BC'\Rightarrow CK=\frac { CB.CC' } { \sqrt[] { (CB)^2 +(CC')^2 } } $
$ \Rightarrow CK=\frac { 2x.\frac { ax\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 3x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } } } { \sqrt[] { 4x ^ { 2 } +\frac { 3a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 3x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } } }=\frac { 2ax\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 12x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } } $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { ABC' } \right )∩\left ( { BCC'B' } \right )=BC' \\ C\in \left ( { BCC'B' } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow sin\left ( { \left ( { ABC' } \right ),\left ( { BCC'B' } \right ) } \right )=\frac { d\left ( { C,\left ( { ABC' } \right ) } \right ) } { d\left ( { C,BC' } \right ) }=\frac { CH } { CK } $
$ \Leftrightarrow \sqrt[] { 1-\left ( { \frac { 1 } { 2\sqrt[] { 3 } } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a } { \frac { 2ax\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 12x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } } } $$ \Leftrightarrow \frac { 11 } { 12 }=\frac { 12x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } { 12x ^ { 2 } }\Rightarrow x=a $.
$ \Rightarrow \Delta ABC $ đều cạnh $ 2a $$ \Rightarrow S_{ \Delta ABC } =a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } $ và $ CC'=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 2 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =S_{ \Delta ABC } .CC'=\frac { 3\sqrt[] { 2 }a ^ { 3 } } { 2 }. $