Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có $ AA'=2\sqrt[] { 13 }a $, tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $ và $ \widehat { ABC }=30 ^ { { \rm{ o } } } $, góc giữa cạnh bên $ CC' $ và mặt đáy $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { { \rm{ o } } } $. Hình chiếu vuông góc của $ B' $ lên $ \left ( { ABC } \right ) $trùng với trọng tâm của tam giác $ ABC $. Thể tích của khối tứ diện $ A'.ABC $ theo $ a $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ G $ là trọng tâm của $ \Delta ABC $.
Khi đó $ B'G⊥\left ( { ABC } \right )\Rightarrow $góc giữa $ BB' $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ là góc giữa $ BB' $ và $ BG $ hay là góc $ \widehat { B'BG } $.
Do $ CC'\,//\,BB' $nên $ \widehat { B'BG }=60 ^ { { \rm{ o } } } $.
Trong $ \Delta ABC $ đặt $ AB=2x\Rightarrow AC=AB.sin30 ^ { { \rm{ o } } } =x $; $ BC=AB.sin60 ^ { { \rm{ o } } } =x\sqrt[] { 3 } $.
Gọi $ N $ là giao điểm của $ BG $ và $ AC $.
Trong $ \Delta B'BG $ vuông tại $ G $ ta có
$ B'G=BB'.sin \widehat { B'BG }=2\sqrt[] { 13 }a.sin60 ^ { { \rm{ o } } } =\sqrt[] { 39 }a $; $ BG=BB'.cos \widehat { B'BG }=2\sqrt[] { 13 }a.cos60 ^ { o } =\sqrt[] { 13 }a $.
Suy ra $BN=\frac { 3 } { 2 }BG=\frac { 3\sqrt[] { 13 }a } { 2 } $.
Trong $\Delta BCN$ vuông tại $ C $ ta có
$BN^2=BC^2+CN^2\Leftrightarrow \frac { 117a ^ { 2 } } { 4 }=3x ^ { 2 } +\frac { x ^ { 2 } } { 4 }\Leftrightarrow \frac { 9.13a ^ { 2 } } { 4 }=\frac { 13x ^ { 2 } } { 4 }\Leftrightarrow x=3a $.
Khi đó diện tích của $ \Delta ABC $ là $ S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 2 }.AC.BC=\frac { 1 } { 2 }.3a.3a.\sqrt[] { 3 }=\frac { 9\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 } $ (đvdt).
Thể tích của khối tứ diện $ A'.ABC $ là $ V_{ A'.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.B'G.S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\sqrt[] { 39 }a.\frac { 9\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 }=\frac { 9\sqrt[] { 13 }a ^ { 3 } } { 2 } $ (đvtt).
