Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 38

Gọi N là trung điểm của $ BC $, $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $
Hình chiếu vuông góc của điểm $ A' $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ trùng với trọng tâm tam giác $ \left ( { ABC } \right ) $nên $ A'G⊥\left ( { ABC } \right ) $
Tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A $ nên $ AN⊥BC $ $ \left ( { 1 } \right ) $
Lại có $ A'G⊥BC $ $ \left ( { 2 } \right ) $
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ ta có $ BC⊥\left ( { A'AN } \right ) $
Trong mặt phẳng $ \left ( { A'AN } \right ) $ từ $ N $ kẻ $ NH⊥A'A $ suy ra $ NH $ là đoạn vuông góc chung của $ AA' $ và $ BC $ do đó $ d\left ( { A'A;BC } \right )=NH= $ $ \frac { \sqrt[] { 17 } } { 6 }a $
Đặt $ AB=2x $
Vì tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A $nên $ BC=2x\sqrt[] { 2 } $; $ AN=\frac { 1 } { 2 }BC=x\sqrt[] { 2 } $
$ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $$ \Rightarrow AG=\frac { 2 } { 3 }AN=\frac { 2x\sqrt[] { 2 } } { 3 } $
Trong tam giác vuông $ A'AG $ có $ (A'G)^2=(A'A)^2-(AG)^2=4a ^{ 2 }-\frac { 8x ^{ 2 } } { 9 } $
Trong mặt phẳng $ \left ( { A'AN } \right ) $ kẻ $ GK $$ { \rm{ / } }{ \rm{ / } } $$ NH $$ \Rightarrow GK=\frac { 2 } { 3 }NH=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 9 } $
Trong tam giác vuông $ A'AG $ có
$ \frac { 1 } { (GK)^2 }=\frac { 1 } { (A'G)^2 }+\frac { 1 } { (AG)^2 }\Leftrightarrow \frac { 81 } { 17a ^{ 2 } }=\frac { 1 } { 4a ^{ 2 }-\frac { 8x ^{ 2 } } { 9 } }+\frac { 1 } { \frac { 8x ^{ 2 } } { 9 } } $
$ \Leftrightarrow \frac { 81 } { 17a ^{ 2 } }=\frac { 4a ^{ 2 } } { \left ( { 4a ^{ 2 }-\frac { 8x ^{ 2 } } { 9 } } \right ).\frac { 8x ^{ 2 } } { 9 } } $
$ \Leftrightarrow $ $ 64x ^{ 4 }-288a ^{ 2 }.x ^{ 2 }+68a ^{ 4 }=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ x ^{ 2 }=\frac { 17 } { 4 }a ^{ 2 }\Rightarrow x=\frac { \sqrt[] { 17 } } { 2 }a\Rightarrow AB=a\sqrt[] { 17 } \\ x ^{ 2 }=\frac { 1 } { 4 }a ^{ 2 }\Rightarrow x=\frac { 1 } { 2 }a\Rightarrow AB=a \right. $
Mà $ AB < a\sqrt[] { 3 } $ nên $ AB=a $
$ (A'G)^2=(A'A)^2-(AG)^2=4a ^{ 2 }-\frac { 8x ^{ 2 } } { 9 } $$ =\frac { 34a ^{ 2 } } { 9 }\Rightarrow A'G=\frac { a\sqrt[] { 34 } } { 3 } $
Thể tích $ V $ của khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ là
$ V=A'G.S_{ ABC } =\frac { a\sqrt[] { 34 } } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }.a.a=\frac { \sqrt[] { 34 }a ^ { 3 } } { 6 } $.