Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 36

Gọi $ M $ là trung điểm của $ AA' $. Kẻ $ A'H $ vuông góc với $ AC $ tại $ H $, $ BK $ vuông góc với $ AC $ tại $ K $, $ KN $ vuông góc với $ AA' $ tại $ N. $
Do $ \left ( { AA'C'C } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) $ suy ra $ A'H⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ BK⊥\left ( { AA'C'C } \right )\Rightarrow BK⊥AA' $
$ \Rightarrow AA'⊥\left ( { BKN } \right )\Rightarrow AA'⊥NB $ suy ra $ \left ( { \widehat { \left ( { AA'C'C } \right ),\left ( { AA'B'B } \right ) } } \right )= \widehat { KNB }=\alpha $.
Ta có: $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=\sqrt[] { 6 } $, $ AD=\sqrt[] { 3 } $ suy ra $ BD=3=AC $
Suy ra $ \Delta ACA' $ cân tại $ C $. Suy ra $ CM⊥AA'\Rightarrow KN\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,CM $
$ \Rightarrow \frac { AK } { AC }=\frac { AN } { AM }=\frac { NK } { MC }\,\, $.
Xét $ \Delta ABC $ vuông tại $ B $ có $ BK $ là đường cao suy ra $ BK=\frac { BA.BC } { AC }=\sqrt[] { 2 } $ và
$ (AB)^2 =AK.AC\Rightarrow AK=\frac { (AB)^2 } { AC }=2 $
Xét $ \Delta NKB $ vuông tại $ K $ có $ tan\alpha =tan \widehat { KNB }=\frac { 3 } { 4 } $$ \Rightarrow \frac { KB } { KN }=\frac { 3 } { 4 }\Leftrightarrow KN=\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 } $.
Xét $ \Delta ANK $ vuông tại $ N $ có $ KN=\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 } $, $ AK=2 $ suy ra $ AN=\frac { 2 } { 3 } $.
$ \Rightarrow \frac { 2 } { 3 }=\frac { \frac { 2 } { 3 } } { AM }=\frac { \frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 } } { MC }\,\,\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} AM=1\Rightarrow AA'=2 \\ CM=2\sqrt[] { 2 } \end{array} \right. $.
Ta lại có: $ A'H.AC=CM.AA'\Rightarrow A'H=\frac { CM.AA' } { AC }=\frac { 2\sqrt[] { 2 }.2 } { 3 }=\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 } $
Suy ra thể tích khối lăng trụ cần tìm là: $ V=A'H.AB.AD=\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 }.\sqrt[] { 6 }.\sqrt[] { 3 }=8 $.