Bài tập nâng cao · Bài 35
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 35
Cho khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $có đáy $ ABC $là tam giác vuông tại $ A, $$ AB=a,\,\,BC=2a $. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $ A’ $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là trung điểm $H$ của cạnh $AC$. Góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { BCB'C' } \right ) $và $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { 0 } $. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $AC=a\sqrt{3}$. Từ $ H $kẻ $ HI $vuông góc với$ BC $.
Ta có $ \Delta HIC\sim \Delta BAC $nên $ \frac { HI } { AB }=\frac { HC } { BC }\Rightarrow HI=\frac { AB.HC } { BC }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Gọi $ K $là trung điểm của$ A’C’ $. từ $ K $ kẻ $ KM $vuông góc với$ B’C’ $.
Tứ giác $ KMIH $là hình bình hành nên $ KM=IH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Gọi $ N $là điểm trên $ B’C’ $ sao cho $ M $là trung điểm của $ C’N $ $ \Rightarrow A'N=2KM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Do $ A'H⊥\left ( { ABC } \right ) $ nên $ \left ( { A'NIH } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) $. Mà $ A'N>HI $nên $ \overset ⌢ { HIN } $ là góc tù. Suy ra $ \overset ⌢ { HIN }=120 ^ { 0 } \Rightarrow \overset ⌢ { A'NI }=60 ^ { 0 } $.
Gọi $ H’ $ là hình chiếu của$ I $lên $ A’N $suy ra $ H’ $ là trung điểm của$ A’N $.
$ \Rightarrow A'H=IH'=NH'.tan60 ^ { 0 } =\frac { 3a } { 4 } $.
$ \Rightarrow V=A'H.S_{ ABC } =\frac { 3a } { 4 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 8 } $.