Bài tập nâng cao · Bài 34
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 34
Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $, cạnh $ BC=2a $ và $ \widehat { ABC }=60 ^ { 0 } $. Biết tứ giác $ BCC'B' $ là hình thoi có $ \widehat { B'BC } $ nhọn. Mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ vuông góc với $ \left ( { ABC } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { ABB'A' } \right ) $ tạo với $ \left ( { ABC } \right ) $ góc $ 45 ^ { 0 } $. Thể tích khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { BCC'B' } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) \\ \left ( { BCC'B' } \right )∩\left ( { ABC } \right )=BC \end{array} \right. $. Do đó trong $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ kẻ $ B'H $ vuông góc với $ BC $ tại $ H $ thì$ B'H⊥\left ( { ABC } \right ) $ hay $ B'H $ là chiều cao của hình lăng trụ.
Trong $ \left ( { ABC } \right ) $ kẻ $ HK $ vuông góc với $ AB $ tại $ K $. Khi đó $ AB⊥\left ( { B'HK } \right ) $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { ABB'A' } \right )∩\left ( { ABC } \right )=AB \\ \left ( { B'HK } \right )⊥AB \\ \left ( { B'HK } \right )∩\left ( { ABB'A' } \right )=B'K,\,\,\,\left ( { B'HK } \right )∩\left ( { ABC } \right )=KH\, \end{array} \right. $
$ \Rightarrow $ Góc giữa $ \left ( { ABB'A' } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ chính là góc giữa $ B'K $ và $ KH $.
$ \Delta B'HK $ vuông tại $ H $ nên $ \widehat { B'KH } $ là góc nhọn. Do đó $ \widehat { B'KH }=45° $.
$ \Delta B'HK $ vuông tại $ H $ có $ \widehat { B'KH }=45° $$ \Rightarrow \Delta B'HK $ vuông cân tại $ H $$ \Rightarrow B'H=KH $.
Xét hai tam giác vuông $ B'BH $ và $ BKH $, ta có $ tan \widehat { B'BH }=\frac { B'H } { BH }=\frac { KH } { BH }=sin \widehat { ABC }=sin60°=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
$ \Rightarrow \frac { B'H } { B'B }=sin \widehat { B'BH }=\sqrt[] { 1-cos ^ { 2 } \widehat { B'BH } }=\sqrt[] { 1-\left ( { \frac { 1 } { tan ^ { 2 } \widehat { B'BH }+1 } } \right ) }=\sqrt[] { 1-\frac { 1 } { \frac { 3 } { 4 }+1 } }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 7 } $.
$ \Rightarrow B'H=B'B.\frac { \sqrt[] { 21 } } { 7 }=\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $ (vì $ BCC'B' $ là hình thoi có cạnh $ BC=2a $).
Ta có $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }AB.AC=\frac { 1 } { 2 }\left ( { BC.cos60 ^ { 0 } } \right )\left ( { BC.sin60 ^ { 0 } } \right )=\frac { 1 } { 2 }.2a.\frac { 1 } { 2 }.2a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =B'H.S_{ ABC } =\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 7 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 7 }a ^ { 3 } } { 7 } $.
Trong $ \left ( { ABC } \right ) $ kẻ $ HK $ vuông góc với $ AB $ tại $ K $. Khi đó $ AB⊥\left ( { B'HK } \right ) $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { ABB'A' } \right )∩\left ( { ABC } \right )=AB \\ \left ( { B'HK } \right )⊥AB \\ \left ( { B'HK } \right )∩\left ( { ABB'A' } \right )=B'K,\,\,\,\left ( { B'HK } \right )∩\left ( { ABC } \right )=KH\, \end{array} \right. $
$ \Rightarrow $ Góc giữa $ \left ( { ABB'A' } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ chính là góc giữa $ B'K $ và $ KH $.
$ \Delta B'HK $ vuông tại $ H $ nên $ \widehat { B'KH } $ là góc nhọn. Do đó $ \widehat { B'KH }=45° $.
$ \Delta B'HK $ vuông tại $ H $ có $ \widehat { B'KH }=45° $$ \Rightarrow \Delta B'HK $ vuông cân tại $ H $$ \Rightarrow B'H=KH $.
Xét hai tam giác vuông $ B'BH $ và $ BKH $, ta có $ tan \widehat { B'BH }=\frac { B'H } { BH }=\frac { KH } { BH }=sin \widehat { ABC }=sin60°=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
$ \Rightarrow \frac { B'H } { B'B }=sin \widehat { B'BH }=\sqrt[] { 1-cos ^ { 2 } \widehat { B'BH } }=\sqrt[] { 1-\left ( { \frac { 1 } { tan ^ { 2 } \widehat { B'BH }+1 } } \right ) }=\sqrt[] { 1-\frac { 1 } { \frac { 3 } { 4 }+1 } }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 7 } $.
$ \Rightarrow B'H=B'B.\frac { \sqrt[] { 21 } } { 7 }=\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $ (vì $ BCC'B' $ là hình thoi có cạnh $ BC=2a $).
Ta có $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }AB.AC=\frac { 1 } { 2 }\left ( { BC.cos60 ^ { 0 } } \right )\left ( { BC.sin60 ^ { 0 } } \right )=\frac { 1 } { 2 }.2a.\frac { 1 } { 2 }.2a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =B'H.S_{ ABC } =\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 7 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 7 }a ^ { 3 } } { 7 } $.