Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 33

Do$ AC⊥AB $, $ AC⊥AA' $ nên $ AC⊥\left ( { ABB'A' } \right ) $. Mà $ A'B⊂\left ( { ABB'A' } \right ) $ nên $ AC⊥A'B $.
Có $ A'B⊥AC $, $ A'B⊥CM $ nên $ A'B⊥\left ( { AMC } \right ) $$ \Rightarrow A'B⊥AM $.
Đặt $ AA'=x $$ \left ( { x>0 } \right ) $. Ta có $ \overset\rightarrow { A'B }=\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AA' } $ và $ \overset\rightarrow { AM }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BM }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AA' } $.
Suy ra$ \overset\rightarrow { A'B }.\overset\rightarrow { AM } $$ =\left ( { \overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AA' } } \right )\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AA' } } \right ) $$ =(AB)^2 -\frac { 1 } { 2 }(AA')^2 -\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AA' } $
$ =(AB)^2 -\frac { 1 } { 2 }(AA')^2 -\frac { 1 } { 2 }AB.AA'.cos \widehat { BAA' } $$ =2 ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }.2.x.cos120° $$ =-\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }x+4 $
Do $ A'B⊥AM $ nên $ \overset\rightarrow { A'B }.\overset\rightarrow { AM }=0 $$ \Leftrightarrow -\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }x+4=0 $$ \Rightarrow x=\frac { 1+\sqrt[] { 33 } } { 2 } $.
Lại có $ S_{ ABB'A' } =AB.AA'.sin \widehat { BAA' }=2.\frac { 1+\sqrt[] { 33 } } { 2 }.sin120° $$ =\frac { \sqrt[] { 3 }\left ( { 1+\sqrt[] { 33 } } \right ) } { 2 } $ (đvdt).
Do $ AC⊥\left ( { ABB'A' } \right ) $ nên $ V_{ C.ABB'A' } =\frac { 1 } { 3 }.AC.S_{ ABB'A' } =\frac { 1 } { 3 }.\sqrt[] { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 }\left ( { 1+\sqrt[] { 33 } } \right ) } { 2 }=\frac { 1+\sqrt[] { 33 } } { 2 } $ (đvtt).
Mà $ V_{ C.A'B'C' } =\frac { 1 } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } $$ \Rightarrow V_{ C.ABB'A' } =V_{ ABC.A'B'C' } -V_{ C.A'B'C' } =\frac { 2 } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { 3 } { 2 }V_{ C.ABB'A' } =\frac { 3 } { 2 }.\frac { 1+\sqrt[] { 33 } } { 2 }=\frac { 3\left ( { 1+\sqrt[] { 33 } } \right ) } { 4 } $ (đvtt).