Bài tập nâng cao · Bài 32
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 32
Cho khối lăng trụ tam giác $ ABC.A'B'C' $. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $, $ M\,,\,N\,,\,P $ lần lượt là trung điểm của $ CC'\,,\,A'C'\,,\,A'B' $. Biết thể tích khối tứ diện $ GMNP $ bằng $ 5\, $, tính thể tích khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ GC{ \rm{ } }{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,G'C' $. Do đó kéo dài $ GM $ cắt $ G'C' $ tại $ K $ và $ C'K=G'C'=GC $.
Ta có: $ \frac { V_{ GMNP } } { V_{ GKNP } }=\frac { GM } { GK }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow V_{ GKNP } =2V_{ GMNP } =10 $.
Ta có: $ S_{ \Delta NC'K } =S_{ \Delta NG'C' } $ và $ \frac { S_{ \Delta C'NG' } } { S_{ \Delta C'A'P } }=\frac { C'N } { C'A' }.\frac { C'G' } { C'P }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }=\frac { 1 } { 3 }\Rightarrow S_{ \Delta C'NG' } =\frac { 1 } { 3 }S_{ \Delta C'A'P } =\frac { 1 } { 6 }S_{ \Delta A'B'C' } $
Ta có: $ \frac { S_{ \Delta C'NP } } { S_{ \Delta C'A'P } }=\frac { C'N } { C'A' }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow S_{ \Delta C'NP } =\frac { 1 } { 2 }S_{ \Delta C'A'P } =\frac { 1 } { 4 }S_{ \Delta A'B'C' } $.
Ta có: $ S_{ \Delta KNP } =S_{ \Delta KNC' } +S_{ \Delta C'NP } =\left ( { \frac { 1 } { 6 }+\frac { 1 } { 4 } } \right )S_{ \Delta A'B'C' } =\frac { 5 } { 12 }.S_{ \Delta A'B'C' } $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 3 }d\left ( { G\,\,;\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta KNP } =\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { G\,;\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).\frac { 5 } { 12 }.S_{ \Delta A'B'C' } \Leftrightarrow V_{ GKNP } =\frac { 5 } { 36 }V_{ ABC.A'B'C' } $
$ \Leftrightarrow V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { 36 } { 5 }V_{ GKNP } =72 $.
Ta có: $ \frac { V_{ GMNP } } { V_{ GKNP } }=\frac { GM } { GK }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow V_{ GKNP } =2V_{ GMNP } =10 $.
Ta có: $ S_{ \Delta NC'K } =S_{ \Delta NG'C' } $ và $ \frac { S_{ \Delta C'NG' } } { S_{ \Delta C'A'P } }=\frac { C'N } { C'A' }.\frac { C'G' } { C'P }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }=\frac { 1 } { 3 }\Rightarrow S_{ \Delta C'NG' } =\frac { 1 } { 3 }S_{ \Delta C'A'P } =\frac { 1 } { 6 }S_{ \Delta A'B'C' } $
Ta có: $ \frac { S_{ \Delta C'NP } } { S_{ \Delta C'A'P } }=\frac { C'N } { C'A' }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow S_{ \Delta C'NP } =\frac { 1 } { 2 }S_{ \Delta C'A'P } =\frac { 1 } { 4 }S_{ \Delta A'B'C' } $.
Ta có: $ S_{ \Delta KNP } =S_{ \Delta KNC' } +S_{ \Delta C'NP } =\left ( { \frac { 1 } { 6 }+\frac { 1 } { 4 } } \right )S_{ \Delta A'B'C' } =\frac { 5 } { 12 }.S_{ \Delta A'B'C' } $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 3 }d\left ( { G\,\,;\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta KNP } =\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { G\,;\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ).\frac { 5 } { 12 }.S_{ \Delta A'B'C' } \Leftrightarrow V_{ GKNP } =\frac { 5 } { 36 }V_{ ABC.A'B'C' } $
$ \Leftrightarrow V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { 36 } { 5 }V_{ GKNP } =72 $.