Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 31

Đặt $ AB=x $, $ AD=y $, $ AA'=z $.
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ B $ trên $ B'C $, ta có $ BH $ là đoạn vuông góc chung của $ AB $ và $ B'C $ nên $ d\left ( { AB,B'C } \right )=BH=\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 }\Rightarrow \frac { 1 } { (BH)^2 }=\frac { 1 } { z ^ { 2 } }+\frac { 1 } { y ^ { 2 } }=\frac { 5 } { 4a ^ { 2 } } $. (1)
Gọi $ I $ là hình chiếu vuông góc của $ B $ trên $ AB' $, ta có $ BI $ là đoạn vuông góc chung của $ BC $ và $ AB' $ nên $ d\left ( { BC,AB' } \right )=BI\Rightarrow \frac { 1 } { (BI)^2 }=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { z ^ { 2 } }=\frac { 5 } { 4a ^ { 2 } } $. (2)
Gọi $ M $ là trung điểm của $ DD' $, $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $, ta có mặt phẳng $ \left ( { ACM } \right ) $ chứa $ AC $ và song song với $ BD' $nên $ d\left ( { AC,BD' } \right )=d\left ( { BD',\left ( { ACM } \right ) } \right )=d\left ( { D',\left ( { ACM } \right ) } \right ) $.
Gọi $ J $ là hình chiếu vuông góc của $ D $ trên $ AC $, $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ D $ trên $ MJ $, ta có $ d\left ( { D',\left ( { ACM } \right ) } \right )=d\left ( { D,\left ( { ACM } \right ) } \right )=DK\Rightarrow \frac { 1 } { (DK)^2 }=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { y ^ { 2 } }+\frac { 4 } { z ^ { 2 } }=\frac { 3 } { a ^ { 2 } } $. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có $ \frac { 2 } { z ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2a ^ { 2 } }\Leftrightarrow z=2a\Rightarrow x=y=a $.
Thể tích khối hộp là $ V=xyz=2a ^ { 3 } $.