Bài tập nâng cao · Bài 30
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 30
Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$, khoảng cách từ $ C $ đến $ BB' $ là $ \sqrt[] { 5 } $, khoảng cách từ $ A $ đến $ BB' $ và $ CC' $ lần lượt là $ 1;\,\,2 $. Hình chiếu vuông góc của $ A $ lên mặt phẳng$ A'B'C' $ là trung điểm $ M $ của $ B'C' $, $ A'M=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Xem lời giải
Lời giải
Kẻ $ AI⊥BB' $, $ AK⊥CC' $ ( hình vẽ).
Khoảng cách từ $ A $ đến $ BB' $ và $ CC' $ lần lượt là $ 1;\,\,2 $$ \Rightarrow AI=1 $, $ AK=2 $.
Gọi $ F $ là trung điểm của $ BC $.$ A'M=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } $$ \Rightarrow AF=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } $
Ta có $ \left\{ \begin{array}{l} AI⊥BB' \\ BB'⊥AK \end{array} \right.\Rightarrow BB'⊥\left ( { AIK } \right ) $$ \Rightarrow BB'⊥IK $.
Vì $ CC'\parallel BB' $$ \Rightarrow d(C,BB') $$ =d(K,BB') $$ =IK $$ =\sqrt[] { 5 } $$ \Rightarrow \Delta AIK $ vuông tại $ A $.
Gọi $ E $ là trung điểm của $ IK $ $ \Rightarrow EF\parallel BB' $ $ \Rightarrow EF⊥\left ( { AIK } \right ) $$ \Rightarrow EF⊥AE $.
Lại có $ AM⊥\left ( { ABC } \right ) $. Do đó góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ và $ \left ( { AIK } \right ) $ là góc giữa $ EF $ và $ AM $ bằng góc $ \widehat { AME }= \widehat { FAE } $. Ta có $ cos \widehat { FAE }=\frac { AE } { AF } $$ =\frac { \frac { \sqrt[] { 5 } } { 2 } } { \frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } } $$ =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $$ \Rightarrow \widehat { FAE }=30° $.
Hình chiếu vuông góc của tam giác $ ABC $ lên mặt phẳng $ \left ( { AIK } \right ) $ là $ \Delta AIK $ nên ta có: $ S_{ AIK } =S_{ ABC } cos \widehat { EAF } $ $ \Rightarrow 1=S_{ ABC } \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ $ \Rightarrow \frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }=S_{ ABC } $.
Xét $ \Delta AMF $ vuông tại $ A $: $ tan \widehat { AMF }=\frac { AF } { AM } $$ \Rightarrow AM=\frac { \frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } } { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } } $$ \Rightarrow AM=\sqrt[] { 5 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =\sqrt[] { 5 }.\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } } $ $ =\frac { 2\sqrt[] { 15 } } { 3 } $.
Khoảng cách từ $ A $ đến $ BB' $ và $ CC' $ lần lượt là $ 1;\,\,2 $$ \Rightarrow AI=1 $, $ AK=2 $.
Gọi $ F $ là trung điểm của $ BC $.$ A'M=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } $$ \Rightarrow AF=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } $
Ta có $ \left\{ \begin{array}{l} AI⊥BB' \\ BB'⊥AK \end{array} \right.\Rightarrow BB'⊥\left ( { AIK } \right ) $$ \Rightarrow BB'⊥IK $.
Vì $ CC'\parallel BB' $$ \Rightarrow d(C,BB') $$ =d(K,BB') $$ =IK $$ =\sqrt[] { 5 } $$ \Rightarrow \Delta AIK $ vuông tại $ A $.
Gọi $ E $ là trung điểm của $ IK $ $ \Rightarrow EF\parallel BB' $ $ \Rightarrow EF⊥\left ( { AIK } \right ) $$ \Rightarrow EF⊥AE $.
Lại có $ AM⊥\left ( { ABC } \right ) $. Do đó góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ và $ \left ( { AIK } \right ) $ là góc giữa $ EF $ và $ AM $ bằng góc $ \widehat { AME }= \widehat { FAE } $. Ta có $ cos \widehat { FAE }=\frac { AE } { AF } $$ =\frac { \frac { \sqrt[] { 5 } } { 2 } } { \frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } } $$ =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $$ \Rightarrow \widehat { FAE }=30° $.
Hình chiếu vuông góc của tam giác $ ABC $ lên mặt phẳng $ \left ( { AIK } \right ) $ là $ \Delta AIK $ nên ta có: $ S_{ AIK } =S_{ ABC } cos \widehat { EAF } $ $ \Rightarrow 1=S_{ ABC } \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ $ \Rightarrow \frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }=S_{ ABC } $.
Xét $ \Delta AMF $ vuông tại $ A $: $ tan \widehat { AMF }=\frac { AF } { AM } $$ \Rightarrow AM=\frac { \frac { \sqrt[] { 15 } } { 3 } } { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } } $$ \Rightarrow AM=\sqrt[] { 5 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =\sqrt[] { 5 }.\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } } $ $ =\frac { 2\sqrt[] { 15 } } { 3 } $.