Bài tập nâng cao · Bài 29
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 29
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật. $ E $ là điểm trên cạnh $ AD $ sao cho $ BE $ vuông góc với $ AC $ tại $ H $ và $ AB>AE $, cạnh $ SH $ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc $ \widehat { BSH }=45° $. Biết $ AH=\frac { 2a } { \sqrt[] { 5 } } $, $ BE=a\sqrt[] { 5 } $. Thể tích khối chóp $ S.ABCD $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ AE=x $, $ AB=y $ $ \left ( { y>x } \right ) $.
Tam giác $ ABE $ vuông tại $ A $, có đường cao $ AH $. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
+) $ \left \{ \begin{array}{l} (BE)^2 =(AE)^2 +(AB)^2 \\ \frac { 1 } { (AH)^2 }=\frac { 1 } { (AE)^2 }+\frac { 1 } { (AB)^2 } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 5a ^ { 2 } =x ^ { 2 } +y ^ { 2 } \\ \frac { 5 } { 4a ^ { 2 } }=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { y ^ { 2 } } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =5a ^ { 2 } \\ xy=2a ^ { 2 } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x+y=3a \\ xy=2a ^ { 2 } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=a \\ y=2a \end{array} \right. $.
+) $ BH=\frac { (AB)^2 } { BE }=\frac { 4a ^ { 2 } } { a\sqrt[] { 5 } }=\frac { 4\sqrt[] { 5 }a } { 5 } $$ \Rightarrow EH=BE-BH=a\sqrt[] { 5 }-\frac { 4\sqrt[] { 5 }a } { 5 }=\frac { \sqrt[] { 5 }a } { 5 } $.
Tam giác $ SHB $ vuông cân tại $ H $ (có $ \widehat { BSH }=45° $), suy ra: $ SH=\frac { 4\sqrt[] { 5 }a } { 5 } $.
+) $ \frac { BC } { EA }=\frac { BH } { EH }=4\Rightarrow BC=4a $.
Vậy $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SH.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SH.AB.BC=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 4\sqrt[] { 5 }a } { 5 }.2a.4a=\frac { 32\sqrt[] { 5 }a ^ { 3 } } { 15 } $.