Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 28

Dựng hình bình hành $ ABCD $
Từ gt$ \Rightarrow $$ ABCD $ là hình vuông; $ SA⊥AB $; $ SC⊥BC $$ \Rightarrow $$ SA⊥CD $; $ SC⊥AD $
Do đó $ CD⊥\left ( { SAD } \right ) $; $ AD⊥\left ( { SCD } \right ) $$ \Rightarrow $$ CD⊥SD $; $ AD⊥SD $$ \Rightarrow $$ SD⊥\left ( { ABCD } \right ) $
Trong $ \left ( { ABCD } \right ) $: Gọi $ O=AC∩BD $
Trong $ \left ( { SAB } \right ) $: Kẻ $ AI⊥SB $ tại $ I $
Mà $ AC⊥BD $; $ SD⊥AC $$ \Rightarrow $$ AC⊥\left ( { SBD } \right ) $$ \Rightarrow $$ AC⊥SB $$ \Rightarrow $$ SB⊥\left ( { CIA } \right ) $
$ \Rightarrow $$ \widehat { \left ( { \left ( { SBC } \right )\,;\,\left ( { SBA } \right ) } \right ) }= \widehat { \left ( { IA\,;\,IC } \right ) } $
Dễ thấy $ \Delta SBD\sim \Delta OBI $$ \Rightarrow $$ \frac { OI } { SD }=\frac { OB } { SB } $$ \Rightarrow $$ OI=\frac { OB.SD } { SB }=\frac { 3\sqrt[] { 2 }SD } { 2\sqrt[] { (SD)^2 +18 } } $
$ \Rightarrow $$ IC=\sqrt[] { (OI)^2 +(OC)^2 }=\sqrt[] { \frac { 9(SD)^2 } { 2\left ( { (SD)^2 +18 } \right ) }+\frac { 9 } { 2 } } $
Lại có: $ \Delta SAB=\Delta SCB $$ \Rightarrow $$ IA=IC=\sqrt[] { \frac { 9(SD)^2 } { 2\left ( { (SD)^2 +18 } \right ) }+\frac { 9 } { 2 } } $
Ta có: $ cos\alpha =\left | { cos \widehat { CIA } } \right | $$ \Leftrightarrow $$ \left | { \frac { (IA)^2 +(IC)^2 -(AC)^2 } { 2IA.IC } } \right |=\frac { 1 } { 3 } $$ \Leftrightarrow $$ \left | { \frac { \frac { 9(SD)^2 } { (SD)^2 +18 }+9-18 } { \frac { 9(SD)^2 } { (SD)^2 +18 }+9 } } \right |=\frac { 1 } { 3 } $$ \Leftrightarrow $$ SD=3\sqrt[] { 2 } $
Vậy thể tích của khối chóp $ S.ABC $ là: $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SD.S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 3 }SD.\frac { 1 } { 2 }AB.BC=\frac { 9\sqrt[] { 2 }a ^ { 3 } } { 2 } $.