Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 27

Gọi $ H $ là trung điểm cạnh $ AC $, có $ \Delta SAC $ cân tại $ S $ nên $ SH⊥AC $.
Lại có: $ \left ( { SAC } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) $
$ \left ( { SAC } \right )∩\left ( { ABC } \right )=AC $
Suy ra: $ SH⊥\left ( { ABC } \right ) $.
Kẻ $ HP⊥BC,\ HQ⊥AB $
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥HP \\ BC⊥SH\ \left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }\ SH⊥\left ( { ABC } \right )\ } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow \ BC⊥SP $
Vậy có: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { SBC } \right )∩\left ( { ABC } \right )=BC \\ SP⊂\left ( { SBC } \right ),\ SP⊥BC \\ HP⊂\left ( { ABC } \right ),\ HP⊥BC \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { \widehat { \left ( { SBC } \right ),\left ( { ABC } \right ) } } \right )=\left ( { \widehat { SP,HP } } \right )= \widehat { SPH }=45 ^ { 0 } $.
Tương tự, $ \left ( { \widehat { \left ( { SAB } \right ),\left ( { ABC } \right ) } } \right )=\left ( { \widehat { SQ,HQ } } \right )= \widehat { SQH }=60 ^ { 0 } $.
Từ $ A $, kẻ đường thẳng $ d $// $ BC $, kẻ $ HK⊥d $, nối $ SK $, kẻ $ HI⊥HK $.
Có $ \left \{ \begin{array}{l} AK⊥HK\ \left ( { { \rm{ c } }{ \rm{ d } } } \right ) \\ AK⊥SH\ \left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }\ SH⊥\left ( { ABC } \right ),\ AK⊂\left ( { ABC } \right ) } \right ) \\ HK∩SH=H \\ HK,SH⊂\left ( { SHK } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow AK⊥\left ( { SHK } \right )\Rightarrow AK⊥HI $.
Mà $ HI⊥SK;\ AK∩SK=K;\ AK,SK⊂\left ( { SAK } \right ) $.
$ \Rightarrow HI⊥\left ( { SAK } \right )\Rightarrow d\left ( { H,\left ( { SAK } \right ) } \right )=HI $.
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BC\ //\ AK \\ AK⊂\left ( { SAK } \right ) \\ BC⊄\left ( { SAK } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow BC\ //\ \left ( { SAK } \right )\ $ mà $ SA⊂\left ( { SAK } \right ) $
$ \Rightarrow d\left ( { SA,BC } \right )=d\left ( { BC,\left ( { SAK } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SAK } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SAK } \right ) } \right )=2HI=a $
$ \Rightarrow HI=\frac { a } { 2 } $.
Lại có: $ \left \{ \begin{array}{l} BC\ //\ AK \\ HK⊥AK,\ HP⊥BC \end{array} \right.\Rightarrow \ \ H,K,P $ thẳng hàng và $ \frac { HP } { HK }=\frac { HC } { HA }=1\Rightarrow HK=HP $. Đặt: $ SH=x\ \left ( { x>0 } \right ) $
Tam giác $ SHP $ vuông tại $ H $, $ \widehat { \ SPH }=45 ^ { 0 } $ $ \Rightarrow HP=x\Rightarrow HK=x $
$ \Delta SHK $ vuông tại $ H,\ HI⊥SK\Rightarrow HI=\frac { SH.HK } { \sqrt[] { (SH)^2 +(HK)^2 } }\Rightarrow \frac { a } { 2 }=\frac { x ^ { 2 } } { x\sqrt[] { 2 } }\Rightarrow x=\frac { a } { \sqrt[] { 2 } } $.
Tam giác $ SHQ $ vuông tại $ H $, $ \widehat { \ SQH }=60 ^ { 0 } $ $ \Rightarrow HQ=\frac { SH } { tan60 ^ { 0 } }=\frac { x } { \sqrt[] { 3 } } $.
Mặt khác, $ \Delta ABC $ vuông tại B nên $ HP $// $ AB $, $ HQ $// $ BC $ mà $ H $ là trung điểm của $ AC $ nên $ HP,\ HQ $ là các đường trung bình của $ \Delta ABC $ $ \Rightarrow AB=2x=a\sqrt[] { 2 },\ BC=\frac { 2x } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { \sqrt[] { 3 } } $.
Vậy $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.SH.dt\left ( { ABC } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { a } { \sqrt[] { 2 } }.\frac { 1 } { 2 }.a\sqrt[] { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 2 } } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 6 } } { 18 } $.