Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 26

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Vì $AB\perp DH$ và $AB\perp AD$ nên $AB\perp AH$. Tương tự, $CB\perp DH$ và $CB\perp BD$ nên $CB\perp BH$.
Tam giác $ABH$ vuông tại $A$ và $\widehat{ABH}=180^\circ-\widehat{ABC}=45^\circ$, do đó $AH=AB=2a$ và $BH=2a\sqrt2$.
Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:
$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos135^\circ$, suy ra $BC=2a\sqrt2$.
Vì vậy $S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC\sin135^\circ=2a^2$.
Dựng $HE\perp DA$ và $HF\perp DB$. Khi đó $HE\perp(DAB)$, $HF\perp(DCB)$, nên góc giữa $(DAB)$ và $(DCB)$ là $\widehat{EHF}=30^\circ$. Tam giác $EHF$ vuông tại $E$.
Đặt $DH=x$. Khi đó
$EH=\frac{DH\cdot AH}{\sqrt{DH^2+AH^2}}=\frac{2ax}{\sqrt{4a^2+x^2}}$ và $FH=\frac{2a\sqrt2x}{\sqrt{8a^2+x^2}}$.
Do đó $\cos30^\circ=\frac{EH}{FH}=\frac{\sqrt{8a^2+x^2}}{\sqrt2\sqrt{4a^2+x^2}}$, suy ra $x=2a$.
Vậy $V_{ABCD}=\frac13S_{ABC}\cdot DH=\frac13\cdot2a^2\cdot2a=\frac{4a^3}{3}$.