Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 25

Theo giả thiết $ SA⊥AB $ và $ SC⊥CB $ nên các tam giác $ \Delta SAB $ và $ \Delta SBC $ là vuông có cạnh huyền $ SB $ chung, lại có $ BA=BC $ nên ta có $ \Delta SAB=\Delta SCB $.
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ A $ lên $ SB $ suy ra $ H $ cũng chính là hình chiếu của $ C $ lên $ SB $ (do $ \Delta SAB=\Delta SCB $ nên chân đường cao hạ từ $ A,C $ đến cạnh huyền $ SB $phải trùng nhau) từ đây ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AH⊥SB \\ CH⊥SB \end{array} \right. $ do vậy góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { SBC } \right ) $ là góc $ \widehat { AHC } $ hoặc $ 180°- \widehat { AHC } $.
Ta có $ \widehat { AHC } $ là góc phẳng nhị diện $ \left[ A,SB,C \right] $ và góc $ \widehat { ABC }=90° $ nên suy ra góc $ \widehat { AHC }>90° $ vậy góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { SBC } \right ) $ là góc $ 180°- \widehat { AHC } $, do đó $ cos \widehat { AHC }=-\frac { 9 } { 16 } $
Đặt $ AH=x $, áp dụng định lý cosin trong tam giác $ ACH $ ta có
$ (AC)^2 =(AH)^2 +(CH)^2 -2AH.CH.cos \widehat { AHC } $ $ \Leftrightarrow 50a ^ { 2 } =2x ^ { 2 } +2x ^ { 2 } .\frac { 9 } { 16 }\Leftrightarrow \frac { 2\cdot25 } { 16 }x ^ { 2 } =50a ^ { 2 } \Leftrightarrow x=4a $ suy ra $ AH=4a $.
Xét tam giác vuông $ \Delta SAB $ ta có $ \frac { 1 } { (AB)^2 }+\frac { 1 } { (SA)^2 }=\frac { 1 } { (AH)^2 } $$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 25a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { (SA)^2 }=\frac { 1 } { 16a ^ { 2 } } $ $ \Leftrightarrow SA=\frac { 20a } { 3 } $.
Do đó $ SB=\frac { 25a } { 3 } $ và diện tích tam giác $ SAB $ bằng $ S_{ SAB } =\frac { 1 } { 2 }AB.SA=\frac { 50a ^ { 2 } } { 3 } $.
Áp dụng công thức thể tích tứ diện $ V_{ SABC } =\frac { 2S_{ SAB } .S_{ SBC } .sin\alpha } { 3.SB }=\frac { 125a ^ { 3 } \sqrt[] { 7 } } { 18 } $.
Vậy thể tích của khối chóp $ S.ABC $ là $ V=\frac { 125a ^ { 3 } \sqrt[] { 7 } } { 18 } $.