Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 24

$ \Delta ABC $ vuông tại $ C $ có $ \left \{ \begin{array}{l} BC=AB.sin \widehat { CAB }=2a.sin30 ^ { 0 } =a \\ AC=\sqrt[] { (AB)^2 -(BC)^2 }=\sqrt[] { \left ( { 2a } \right ) ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 3 } \end{array} \right.. $
$ \Delta SAC $ vuông tại $ A $ có $ AH $ là đường cao nên $ \frac { 1 } { (AH)^2 }=\frac { 1 } { (SA)^2 }+\frac { 1 } { (AC)^2 } $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { (AH)^2 }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 3a ^ { 2 } }\Leftrightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Ta có $ HC=\sqrt[] { (AC)^2 -(AH)^2 }=\sqrt[] { \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 3a } { 2 } $
Suy ra $ S_{ AHC } =\frac { 1 } { 2 }AH.HC=\frac { 1 } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 3a } { 2 }=\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 8 }. $
Mà $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AC \\ BC⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow BC⊥\left ( { SAC } \right )\Rightarrow BC⊥\left ( { HAC } \right ). $
Suy ra $ V_{ H.ABC } =\frac { 1 } { 3 }BC.S_{ AHC } =\frac { 1 } { 3 }.a.\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 8 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 8 }. $
Vì $ B' $ đối xứng với $ B $ qua mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ nên $ V_{ H.AB'B } =2V_{ H.ABC } =2.\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 8 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $ (đvtt).