Bài tập nâng cao · Bài 33
DẠNG 4. CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC VÉC – TƠ KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐIỂM DI ĐỘNG
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 33
Cho tam giác $ABC$.
a) Với $M$ là điểm bất kì. Chứng minh rằng $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$.
b) Gọi $D$ là điểm sao cho $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}$. $CD$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CK}$.
a) Với $M$ là điểm bất kì. Chứng minh rằng $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$.
b) Gọi $D$ là điểm sao cho $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}$. $CD$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CK}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$
$=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}\right)+2\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\right)-3\overrightarrow{MC}$
$=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$ (không đổi vì $A$, $B$, $C$ cố định).
Do đó $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$.
b) Gọi $E$ là điểm đối xứng của $C$ qua $B$, ta có $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CB}$.
Với $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}$ nên $ACED$ là hình bình hành.
Gọi $F$ là trung điểm của $AE$, $K$ là trọng tâm của $\triangle ACE$.
Ta có $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB} \Leftrightarrow \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CF}=2\cdot\frac{3}{2}\overrightarrow{CK}=3\overrightarrow{CK}$.