Bài tập nâng cao · Bài 32
Dạng 4. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc tơ * Ta biến đổi đẳng thức véc – tơ về dạng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}$ trong đó điểm $A$ và $\overrightarrow{a}$ đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}$, để dựng điểm $M$ ta lấy $A$ làm gốc dựng một véc – tơ bằng véc – tơ $\overrightarrow{a}$ suy ra điểm ngọn véc – tơ này chính là điểm $M$. * Ta biến đổi về đẳng thức véc – tơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 32
Cho tứ giác $ABCD$. Xác định điểm $M$, $N$, $P$ sao cho
a) $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
b) $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$
c) $3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}$
a) $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
b) $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$
c) $3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}$
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $I$ là trung điểm $BC$ suy ra $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$.
Do đó
$2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra $M$ là trung điểm $AI$ với $I$ là trung điểm $BC$.
b) Gọi $K$, $H$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$ ta có
$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{NK}+2\overrightarrow{NH}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{NK}+\overrightarrow{NH}=\overrightarrow{0}$.
Vậy $N$ là trung điểm của $KH$.
c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, khi đó ta có $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{PG}$.
Suy ra $3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}$.
Vậy $P$ là trung điểm $AG$.