Để nghiên cứu về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn và khả năng bị chấn thương vùng đầu, người ta thống kê 61906 bệnh nhân bị tai nạn xe máy, kết quả thể hiện trong bảng thống kê sau:
Kết quả Chất lượng mũ bảo hiểm Bị chất thương vùng đầu Không bị chấn thương vùng đầu
Mũ đạt tiêu chuẩn 3190 21012
Mũ không đạt tiêu chuẩn 11101 26603
Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 61906 người bị tai nạn xe máy.
a) Tính xác suất để bệnh nhân đó bị chấn thương vùng đầu nếu biết người này đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn.
b) Tính xác suất để bệnh nhân đó bị chấn thương vùng đầu nếu biết người này đội mũ bảo hiểm không đạt tiêu chuẩn.
c) So sánh hai xác suất ở câu a và câu b rồi đưa ra kết luận.

Question

1. Xác suất có điều kiện Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Xác suất của biến cố $ A $ với điểu kiện biến cố $ B $ đã xảy ra được gọi là xác suất của $ A $ với điều kiện $ B $, kí hiệu là $ P(A\|B) $. Nếu $ P(B)>0 $ thì $ P(A\|B) $ được tính như sau: $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| } $ Đồng thời lúc này ta có $ P(A∩B)=P(B)\cdot P(A\|B) $ và $ P( \bar A\|B)=1-P(A\|B) $. 2. Công thức nhân xác suất Với hai biến cố $ A,B $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P(A∩B)=P(A)\cdot P(B\|A)=P(B)\cdot P(A\|B) $ Nếu $ A,B $ là hai biến cố độc lập, trong đó $ 0 < P(B) < 1 $, người ta chứng minh được rằng $ P(A\|B)=P(A\| \bar B)=P(A) $. Điều này cho thấy, khi hai biến cố $ A,B $ độc lập thì việc biến cố $ B $ xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố $ A $. Với $ k $ biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 3 } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k-1 } } \right ) $ Nếu các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ đôi một độc lập thì $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } } \right ) $ 3. Kiến thức bổ sung a) Xác suất theo hình học Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu được biểu diễn là một miền hình học $ Ω $ có số đo $ S(Ω) $ hữu hạn, biến cố $ A $ được biểu diển là một miền hình học $ A⊂Ω $ với số đo $ S(A) $. Số đo của miền hình học có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, $ … $ tuỳ thuộc vào miền ta xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian. Khi đó, xác suất theo nghĩa hình học $ P(A) $ được cho bởi công thức $ P(A)=\frac { S(A) } { S(Ω) } $. Định nghĩa xác suất theo hình học là một sự mở rộng tương ứng của định nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp số khả năng có thể xảy ra của biến cố là vô hạn. b) Công thức Bernoulli Giả sử tiến hành $ n $ phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố $ A $ xảy ra hoặc biến cố $ A $ không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi phép thử đều bằng $ p(0\leq p\leq 1) $ và xác suất $ A $ không xảy ra bằng $ 1-p $. Khi đó xác suất để trong $ n $ phép thử độc lập nói trên, biến cố $ A $ xảy ra đúng $ k $ lần, kí hiệu là $ P_{ k } (A) $, được tính theo công thức Bernoulli: $ P_{ k } (A)=C_{ n } ^{ k }\cdot p ^ { k } \cdot (1-p) ^ { n-k } $ Để nghiên cứu về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn và khả năng bị chấn thương vùng đầu, người ta thống kê 61906 bệnh nhân bị tai nạn xe máy, kết quả thể hiện trong bảng thống kê sau: Kết quả Chất lượng mũ bảo hiểm Bị chất thương vùng đầu Không bị chấn thương vùng đầu Mũ đạt tiêu chuẩn 3190 21012 Mũ không đạt tiêu chuẩn 11101 26603 Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 61906 người bị tai nạn xe máy. a) Tính xác suất để bệnh nhân đó bị chấn thương vùng đầu nếu biết người này đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn. b) Tính xác suất để bệnh nhân đó bị chấn thương vùng đầu nếu biết người này đội mũ bảo hiểm không đạt tiêu chuẩn. c) So sánh hai xác suất ở câu a và câu b rồi đưa ra kết luận.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Không gian mẫu $ Ω $ là tập hợp gồm 61906 người bị tai nạn xe máy nên $ n(Ω)=61906 $ Gọi $ A $ là biến cố: "Người đó bị chấn thương vùng đầu"; $ B $ là biến cố: "Người đó đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn". Khi đó $ A∩B $ là biến cố: "Người đó đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn và bị chấn thương vùng đầu". a) Ta cần tính $ P(A\|B) $. Ta có $ n(A∩B)=3190;n(B)=3190+21012=24202 $. Vậy $ P(B)=\frac { n(B) } { n(Ω) }=\frac { 24202 } { 61906 },P(A∩B)=\frac { n(A∩B) } { n(Ω) }=\frac { 3190 } { 61906 } $. Do đó $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { 3190 } { 24202 }\approx 0,132 $. b) Ta cần tính $ P(A\| \bar B) $. $ \bar B $ là biến cố: "Người đó đội mũ bảo hiểm không đạt tiêu chuẩn". $ A∩ \bar B $ là biến cố: "Người đó đội mũ bảo hiểm không đạt tiêu chuẩn và bị chấn thương vùng đầu". Ta có $ n(A∩ \bar B)=11101;n( \bar B)=11101+26603=37704 $. Vậy $ P( \bar B)=\frac { 37704 } { 61906 } $ và $ P(A∩ \bar B)=\frac { 11101 } { 61906 } $. Do đó $ P(A\| \bar B)=\frac { P(A∩ \bar B) } { P( \bar B) }=\frac { 11101 } { 37704 }\approx 0,294 $. c) Ta thấy $ \frac { P(A\| \bar B) } { P(A\|B) }\approx 2,23 $ nên $ P(A\| \bar B)\approx 2,23\cdot P(A\|B) $. Vậy xác suất một người lái xe máy gặp tai nạn bị chấn thương vùng đầu khi đội mũ bảo hiểm không đạt tiêu chuẩn gấp khoảng 2,23 lần xác suất một người lái xe gặp tai nạn bị chấn thương vùng đầu khi đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn. Chú ý. Để tính xác suất có điều kiện ta có thể dùng định nghĩa để tính toán, chẳng hạn ở Ví dụ la, nếu B xảy ra tức là người được chọn là người đội mũ bảo hiểm đạt tiêu chuẩn. Khi đó số kết quả có thể là 24202, trong đó có 3190 người bị chấn thương vùng đầu. Vậy $ P(A\|B)=\frac { 3190 } { 24202 }\approx 0,132 $.

Bài tập nâng cao Xác suất có điều kiện · Bài 1